Question

Álgebra Linear - Alguém consegue me ajudar com essa questão de álgebra linear explicando como resolve?

Answer 1

As transformações lineares são importantíssimas dentro da álgebra linear, e para que ela seja uma transformação linear há algumas propriedades que devem ser satisfeitas.

$\Large\begin{aligned}&T:U \to V\\ \\&(i)\ T(u + v) = T(u) + T(v)\\ \\&(ii)\ T(\lambda u) = \lambda T(u),\ \lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}$

Dito isso, basta verificar se são transformações lineares, porém já posso dizer que, para ser uma transformação linear é necessário que a regra que gere a transformação seja combinação linear dos vetores da base, se isso for violado, não é transformação linear, e com isso já podemos dizer:

a) não é transformação linear, pois temos o +1 que não combinação dos vetores.

b) é transformação linear.

c) é transformação linear.

Agora vamos provar com as propriedades:

a)

                                      $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (1+x,\ y)\\ \\\end{aligned}$

Aplicando a propriedade (i) com os vetores:

$\Large\begin{aligned}&u = (0, \ 1)\\ \\&v = (1, \ 0)\\ \\&u + v = (1, \ 1)\\ \\\end{aligned}$

Temos

                         $\Large\begin{aligned}T(u + v) &= T(u) + T(v)\\ \\T(1, \ 1) &= T(0, \ 1) + T(1, \ 0)\\ \\(1+1, \ 1) &= (1+0, \ 1) + (1+1, \ 0)\\ \\(2, \ 1) &= (1, \ 1) + (2, \ 0)\\ \\(2, \ 1) &= (3, \ 1)\end{aligned}$

Logo, não é uma transformação linear.

b)

                                     $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (y,\ x)\\ \\\end{aligned}$

Aplicando a propriedade (i) com os vetores e o multiplicador:

$\Large\begin{aligned}&u = (0, \ 1)\\ \\&v = (1, \ 0)\\ \\&u + v = (1, \ 1)\\ \\&\lambda = 3\end{aligned}$

Então

                          $\Large\begin{aligned}T(u + v) &= T(u) + T(v)\\ \\T(1, \ 1) &= T(0, \ 1) + T(1, \ 0)\\ \\(1, \ 1) &= (1, \ 0) + (0, \ 1)\\ \\(1, \ 1) &= (1, \ 1)\end{aligned}$

Agora aplicando a propriedade (ii) com o lambda

                                $\Large\begin{aligned}T(\lambda u) &= \lambdaT(u)\\ \\T(3u) &= 3T(u)\\ \\(0, \ 3) &= 3\cdot (0, \ 3)\\ \\(0, \ 3) &= (0, \ 3)\end{aligned}$

Verifica-se as propriedades, portanto é uma transformação linear.

c)

                                  $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (x-y,\ 0)\\ \\\end{aligned}$

Aplicando a propriedade (i) com os vetores e o multiplicador:

$\Large\begin{aligned}&u = (0, \ 1)\\ \\&v = (1, \ 0)\\ \\&u + v = (1, \ 1)\\ \\&\lambda = 3\end{aligned}$

Usando os mesmos vetores, teremos:

                             $\Large\begin{aligned}T(u + v) &= T(u) + T(v)\\ \\T(1, \ 1) &= T(0, \ 1) + T(1, \ 0)\\ \\(0, \ 0) &= (-1, \ 0) + (1, \ 0)\\ \\(0, \ 0) &= (0, \ 0)\end{aligned}$

Agora a segunda propriedade:

                                $\Large\begin{aligned}T(\lambda u) &= \lambdaT(u)\\ \\T(3u) &= 3T(u)\\ \\(-3, \ 0) &= 3\cdot (-1, \ 0)\\ \\(-3, \ 0) &= (-3, \ 0)\end{aligned}$

Logo, é uma transformação linear.

Mas a questão é, mas e se isso acontecer apenas com os vetores escolhido? é possível que isso ocorra, achar um contra-exemplo é uma maneira de provar que a transformação está errada, para verificar se é uma transformação perceba que ela é formada por transformações lineares dos vetores, exemplo, tomamos a transformação do item c.

                                         $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (x-y,\ 0)\\ \\\end{aligned}$

Note que temos na transformação:

                                      $\Large\begin{aligned}(1 x -1 y, \ 0x + 0y)\end{aligned}$

Que é uma combinção dos vetores x e y, ou seja, no $\large\begin{aligned}\mathbb{R}^2\end{aligned}$ todas as transformações lineares são dadas por:

                                        $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (\alpha x+\beta y,\ \gamma x + \delta y)\\ \\\alpha, \ \beta, \ \gamma&, \ \delta \in\mathbb{R}\end{aligned}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/9231208

brainly.com.br/tarefa/27822017