Question

Álgebra Linear
1) Para o revestimento de um piso, são utilizados os insumos: argamassa AC II, rejunte
preto e Cerâmica. Ao fazer o levantamento de preços em três lojas, obteve-se:
a) Loja A: R$22,00 o m² de cerâmica, R$ 25,00 o saco de argamassa de 20 kg e R$
5,00 o kg de rejunte, totalizando um valor de R$ 329,00.
b) Loja B: R$25,00 o m² de cerâmica, R$ 22,00 o saco de argamassa de 20 kg e R$
4,00 o kg de rejunte, totalizando um valor de R$ 356,00.
c) Loja B: R$23,00 o m² de cerâmica, R$ 23,00 o saco de argamassa de 20 kg e R$
6,00 o kg de rejunte, totalizando um valor de R$ 340,00.
Determine a metragem de cerâmica, sacos de argamassa e rejuntes a serem utilizados
neste revestimento.
2) Para realizar um sistema de abastecimento de água, foram considerados três
situações: trecho em solo, trecho em rochas e trechos em água. Para a composição dos
valores de execução foram consultadas três empresas diferentes. Para a execução do
sistema, a empresa A apresentou orçamento de R$ 3,50 o metro em solo, R$ 8,00 em
rochas e R$ 2,00 em trechos de água, totalizando um valor global de R$ 225,00. Já a
empresa B apresentou orçamento de R$ 3,20 o metro em solo, R$ 10,50 em rochas e
R$ 1,20 em trechos de água, totalizando um valor global de R$ 225,00. E a empresa C
apresentou orçamento de R$ 3,00 o metro em solo, R$ 11,00 em rochas e R$ 1,50 em
trechos de água, totalizando um valor global de R$ 230,00. Nestas condições, qual é a
metragem de tubulação a ser executada, considerando trecho em solo, rochas e água?
3) Para o a execução de um circuito de pontos de luz, são utilizados os insumos:
interruptor simples, cabo de cobre 2,5mm² e luminárias de LED. Ao fazer o levantamento
de preços em três lojas, obteve-se:
a) Loja A: R$12,00 a unidade de interruptor simples, R$ 3,00 o metro de cabo de cobre
2,5mm² e R$ 50,00 a luminária em LED, totalizando um valor de R$ 231,00.
b) Loja B: R$10,00 a unidade de interruptor simples, R$ 2,00 o metro de cabo de cobre
2,5mm² e R$ 50,00 a luminária em LED, totalizando um valor de R$ 210,00.
c) Loja C: R$15,00 a unidade de interruptor simples, R$ 4,00 o metro de cabo de cobre
2,5mm² e R$ 50,00 a luminária em LED, totalizando um valor de R$ 255,00.
Determine a quantidade de interruptores, luminárias e cabos utilizados neste circuito.

Answer 1

Aplicando os conceitos sobre sistemas lineares obtemos as seguintes soluções:

1) 2 m² de cerâmica, 2 sacos de argamassa e 3 sacos de rejunte;

2) 30 m no solo, 10 m na rocha e 20 m na água;

3) 3 interruptores, 15 m de cabo e 3 luminárias.

Sistemas Lineares

Para responder a essa questões deveremos equacionar cada uma das situações apresentadas, montar e resolver o sistema linear assim obtido.

1) Sejam x, a quantidade de m² de cerâmica, y, a quantidade de sacos de argamassa e z, a quantidade de kg de rejunte.

• Loja A:

22x + 25y + 5z = 329

• Loja B:

25x + 22y + 4z = 356

• Loja C:

23x + 23y + 6z = 340

De acordo com as equações obtidas temos o seguinte sistema linear:

$\begin{cases}22x+25y+5z=329\\25x+22y+4z=356\\23x+23y+6z=340\end{cases}$

Para aplicar a Regra de Cramer precisaremos calcular os seguintes determinantes:

$D=\begin{vmatrix}22 & 25 & 5\\25 & 22 & 4\\23 & 23 & 6\end{vmatrix} =2904+2300+2875-2530-2024-3750=-225$

$D_{x} =\begin{vmatrix}329 & 25 & 5\\356 & 22 & 4\\340 & 23 & 6\end{vmatrix} =-2700$

$D_{y} =\begin{vmatrix}22 & 329 & 5\\25 & 356 & 4\\23 & 340 & 6\end{vmatrix} =-450$

$D_{z} =\begin{vmatrix}22 & 25 & 329\\25 & 22 & 356\\23 & 23 & 340\end{vmatrix} =-675$

Sabendo que:

$x=\dfrac{D_x}{D}\Rightarrow x=\dfrac{-2700}{-225}\Rightarrow x=12\\\\y=\dfrac{D_y}{D}\Rightarrow y=\dfrac{-450}{-225}\Rightarrow y=2\\\\z=\dfrac{D_z}{D}\Rightarrow z=\dfrac{-675}{-225}\Rightarrow z=3$

2) Sejam s, o comprimento em metros no solo, r, o comprimento em metros na rocha e a, o comprimento em metros na água.

• Empresa A:

3,50x + 8,00r + 2,00a = 225,00

• Empresa B:

3,20s + 10,50r + 1,20a = 225,00

• Empresa C:

3,00s + 11,00r + 1,50a = 230,00

De acordo com as equações obtidas temos o seguinte sistema linear:

$\begin{cases}3,50s+8,00r+2,00a=225,00\\3,20s+10,50r+1,20a=225,00\\3,00s+11,00r+1,50a=230,00\end{cases}$

Para aplicar a Regra de Cramer precisaremos calcular os seguintes determinantes:

$D=\begin{vmatrix}3,5& 8 & 2\\3,2 & 10,5 & 1,2\\3 & 11 & 1,5\end{vmatrix} =\dfrac{269}{40}$

$D_{s} =\begin{vmatrix}225 & 8 & 2\\225 & 10,5 & 1,2\\230 & 11 & 1,5\end{vmatrix} =\dfrac{807}{4}$

$D_{r} =\begin{vmatrix}3,5& 225& 2\\3,2& 225& 1,2\\3& 230& 1,5\end{vmatrix} =\dfrac{269}{4}$

$D_{a} =\begin{vmatrix}3,5 & 8 & 225\\3,2 & 10,5 & 225\\3 & 11 & 230\end{vmatrix} =\dfrac{269}{2}$

Sabendo que:

$s=\dfrac{D_s}{D}\Rightarrow s=30\\\\r=\dfrac{D_r}{D}\Rightarrow r=10\\\\a=\dfrac{D_a}{D}\Rightarrow a=20$

3) Sejam i, a quantidade de interruptores, c, o comprimento em metros do cabo, l, a quantidade de luminárias.

• Loja A:

12i + 3c + 50l = 231

• Loja B:

10i + 2c + 50l = 210

• Loja C:

15i + 4c + 50l = 255

De acordo com as equações obtidas temos o seguinte sistema linear:

$\begin{cases}12i+3c+50l=231\\10i+2c+50l=210 \ \ L_2:L_2-L_1\\15i+4c+50l=255 \ \ L_3:L_3-L_1\end{cases}$

Efetuando o escalonamento do sistema com as combinações lineares entre as linhas indicadas teremos:

$\begin{cases}12i+3c+50l=231\\-2i-c=-21\\3i+c=24 \ \ L_3:L_3+L_2\end{cases}$

Escalonando mais uma vez obtemos:

$\begin{cases}12i+3c+50l=231\\-2i-c=-21\\i=3\end{cases}\\\\i=3; c=15;l=3$

Para saber mais sobre Sistemas Lineares acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/45220635

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