Question

Álgebra (grupos). Seja G um grupo e H≤G. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:

i) H é um subgrupo de G;
ii) H ≠ { } é para todo x, y ∈ H tem-se que $x y^{-1}$ ∈ H

NOTAÇÃO: Se H for um subgrupo de G, escrevemos H≤G

Answer 1

Estou aprendendo a mesma matéria que você! haha
Vou tentar ajudar,vamos lá!

Vamos considerar a afirmação i primeiro:
Temos que H≤G, assim o elemento neutro de G pertence à H.
E também para um elemento genérico de H, existe um elemento inverso que quando operado com H, resulta no elemento neutro.
Assim, se x, y são elementos de H, a operação entre os dois elementos pertencem à H, e portanto, o elemento gerado pela operação possui um elemento inverso, já que por hipótese, H é subgrupo de G.
Logo, temos que H é diferente de vazio (já que possui elementos) e que H possui elemento inverso.
Assim a afirmação i implica em ii

Agora vamos considerar a afirmação ii:
H é diferente de vazio (possui elementos), e para x, y elementos de H, possui elemento inverso.
Se H possui elemento inverso, possui também elemento neutro
Como não se sabe sobre a operação de H, podemos supor que H é associativo. Assim, H é grupo.
Se H≤G, H está contido em G, logo os elementos de H são elementos de G, assim... H é subgrupo de G
E, portanto, ii implica em i

Se i implica em ii e ii implica em i, i é equivalente à 2! Espero ter ajudado! Abraços!