Question

(Algebra) Determine uma base ortonormal de R3 com dois vetores da base paralelos ao plano 2x−3y+6z = 0. Determine as coordenadas do ponto (1, −4, −3) nessa base. Qual a distancia entre o ponto e o plano?

Answer 1

Utilizando conceitos de Algebra Linear para planos e bases ortonormais, temos que a distância deste ponto ao plano é dada por 4/9 e uma das infinitas bases ortonormais que podemos formar para esta base é dada por:

$\left[ \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \frac{1}{7\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix} \right]$

Explicação passo-a-passo:

Então temos que este plano é dada pela equação:

$2x-3y+6z=0$

E podemos reescrever esta plano de forma parametrica, para isto basta escolhermos duas coordenadas livres e um dependente, uma vez que este é um plano. Esta escolha é completamente arbitrária, e eu escolhi 'x' e 'y':

$x=u$

$y=v$

$z=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{2}v$

Para verificar, basta isolar 'z' na equação original e substituir 'x' e 'y' pelos novos parametros livres 'u' e 'v' que criamos.

Tendo esta nova forma, podemso ainda escrever os parametros livres em todas as coordenadas da forma:

$x=u+0\cdot v$

$y=0\cdot u + v$

$z=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{2}v$

Fazendo isto podemos escrever esta equação parametrizada com vetores, da forma:

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\cdot u + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\cdot v$

Assim já encontramos dois vetores que são base para este plano, porém vamos simplifica-los multiplicando eles pelos denominadores das frações (podemos fazer isso, pois 'u' e 'v' são constantes reais quaisquer, então multiplicar o termo por um número é o mesmo que dividir estas constantes pelo mesmo valor que não faz diferença já que eles são qualquer número real):

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot u + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot v$

E agora temos dois vetores muito mais interessantes de trabalhar:

$\left[ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right]$

Mas é obvio que estes vetores ainda não são ortogonais, então vamos usar o metodo de Gram-Schmidt para encontrarmos um vetor ortogonal ao primeiro:

$V=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{\left( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right)}{\left( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right)}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$V=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{\left( 3\cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \right)}{\left( 3\cdot 3 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \right)}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$V=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

$V=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{3}{10} \\ 0 \\ -\frac{1}{10} \end{pmatrix}$

$V=\begin{pmatrix} \frac{3}{10} \\ 2 \\ \frac{9}{10} \end{pmatrix}$

Ou ainda multiplicando por 10 para simplificar o vetor:

$V=\begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix}$

E assim encontramos o vetor perpendicular a ( 3 , 0 , - 1 ) que também é base do plano dado, então ficamos com os vetores:

$\left[ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix} \right]$

Porém estes dosi vetores ainda não são ortonormais, pois ele tem obviamente norma maior que 1, então precisamos dividi-los pelas suas normas:

$\left[ \frac{1}{\sqrt{3^2+0^2+(-1)^2}}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \frac{1}{\sqrt{3^2+20^2+9^2}}\begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix} \right]$

Ficando então com a base ortonormal da forma:

$\left[ \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \frac{1}{7\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix} \right]$

Agora para encontrarmos a distância do ponto até o plano, basta utilizarmos a formula conhecida:

$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_o+d|}{\sqrt{a^2+b^2+ c^2}}$

$d=\frac{|2\cdot 1-3\cdot (-4)+6\cdot (-3)+0|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+ 6^2}}$

$d=\frac{|2+12-18|}{\sqrt{4+9+ 36}}$

$d=\frac{4}{\sqrt{49}}$

$d=\frac{4}{7}$

Assim temos que a distância deste ponto ao plano é dada por 4/9 e uma das infinitas bases ortonormais que podemos formar para esta base é dada por:

$\left[ \frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\quad ; \quad \frac{1}{7\sqrt{10}}\begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 9 \end{pmatrix} \right]$