Question

Ajuuuuda!!

4-Considere, no plano, um triângulo equilátero cujos vértices são também vértices de um hexágono regular. Se a medida do lado do hexágono é 2 m, quanto mede a área da região interior ao hexágono e exterior ao triângulo?

Answer 1

O hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros, no caso, de lado 2m. Você precisa calcular a área de cada triângulo, que é base vezes altura divido por 2. A altura de um triângulo equilátero é lado vezes raiz quadrada de 3 dividido por 2.
Portanto,
h(do Δ equil.) = (lado . √3) / 2
h(do Δ equil.) = (2 . √3) / 2 = √3

A(do Δ) = (base . altura) / 2
A(do Δ) = (2 . √3) / 2 = √3    (coincide por ser de lado 2)

A(do hexág.) = 6 . A(do Δ)
A(do hexág.) = 6 . √3

A circunferência circunscrita a um hexágono tem raio igual ao lado do hexágono, que nesse caso é 2 m. Então, você tem um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência de raio 2, pois seus vértices também são vértices do hexágono. O lado desse triângulo é igual ao raio da circunferência vezes raiz quadrada de 3.

lado do Δ inscrito = r . √3
lado do Δ inscrito = 2 . √3

h do Δ inscrito = (2 . √3 . √3) / 2 = (√3)ao quadrado = 3

A  do Δ inscrito = (2 . √3 . 3) / 2 = 3 . √3

A área procurada é igual a área do hexágono menos a área do triângulo inscrito, portanto,
 
A procurada = 6√3 - 3√3 = 3√3
 
Logo, A procurada = 3√3 metros quadrados