Question

AJUUUDAAA <3
Inequação - produto

Answer 1

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Inequações - produto é quando se tem a multiplicação de duas ou mais expressões (podemos chamar de funções), podendo ser: maior, menor, maior ou igual, ou menor ou igual a zero

$~~$

$\underbrace{Veja:}$

$a)\sf~~~(x-1)\cdot(x-2)\geq0$

Temos então uma inequação - produto, pois é a multiplicação de duas expressões, e tudo isso é maior ou igual a 0

• A primeira coisa que devemos fazer é o estudo do sinal pra cada função. Para que possamos fazer o estudo do sinal, iguale a função a zero e extraia as raízes:

$~~$

$\sf f(x)=(x-1)~~~~e~~~~g(x)=(x-2)$

$\sf x-1=0~~~~~~~~~~~~~~~~x-2=0$

$\sf x=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=2$

$~~$

Obs.: As duas funções são crescentes pois a > 0            

Em f(x):

• f(x) > 0 se x > 1
• f(x) < 0  se x < 1
• f(x) = 0 se x = 1

$~~$

Em g(x):

• g(x) > 0 se x > 2
• g(x) < 0  se x < 2
• g(x) = 0 se x = 2

$~~$

Vemos que em f(x):

=>  para valores maiores que 1 a função é positiva, para valores menores que 1 a função é negativa, e quando o valor é 1 a função é igual a 0

Vemos que em g(x):

=> para valores maiores que 2 a função é positiva, para valores menores que 2 a função é negativa, e quando o valor é 2 a função é igual a 0

$~~$

Dessa forma vamos escrever esse resultado nas retas

• Na reta f(x) coloque o 1 com a bolinha fechada pois ele pertence à função já que a inequação é maior ou igual
• Na reta g(x) coloque o 2 (mais na direita do 1) com a bolinha fechada também
• Por fim, na reta do produto de f(x) e g(x), faça o jogo de sinais observando as outras retas

$~~$

                  $\large\begin{array}{l}\sf f(x)\quad\, \!\overset{-------}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\:\!\:\!\!\!\:\!\underset{~~1~~}{\bullet}\!\!\:\!\!\!\!\!\:\!\overset{\!\!\!++++++++++++++++++++++}{\textsf{---------------------------------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

                  $\large\begin{array}{l}\sf g(x)\quad\, \!\overset{-------------}{\textsf{-----------------------}}\!\!\!\:\!\underset{~2~}{\bullet}\!\!\!\overset{\!+++++++++++++++}{\textsf{----------------------------\!}}\!\!\!\!\:\!\:\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

        $\large\begin{array}{l}\sf f(x)\cdot g(x)\quad\, \!\overset{\,+++++++}{\textsf{------------}}\!\!\:\!\underset{1}{\bullet}\!\!\:\!\overset{\!------}{\textsf{---------}}\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\!\overset{+++++++++++++++}{\textsf{----------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright\end{array}$

$~~$

Tendo a condição necessária: maior ou igual a zero, pra isso o número precisa ser o zero, ou qualquer numero positivo, então, onde tem os positivos na reta do produto é a nossa resposta:

Nos positivos vemos valores menores ou iguais a 1,  e valores maiores ou iguais a 2, assim o conjunto solução é:

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$\large\boxed{\sf S=\left\{~x\in\mathbb{R}~/~x\leq1~~~ou~~~x\geq2~\right\}}$

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Att. Nasgovaskov

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