Question

Ajudinha com probabilidade.
70 esferas são enumeradas de 1 a 70. Qual a chance de sair, ao acaso, uma esfera com um número múltiplo de 6 ou de 7.

Answer 1

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis:

$S=\{1;\,2;\,3;\,\ldots,\;69;\,70\}$

totalizando $n(S)=70\text{ elementos.}$


$\bullet\;\;$ O evento $A$ é

$A=\{\text{m\'{u}ltiplos de }6\text{, de }1\text{ a }70\}\\ \\ A=\{6;\,12;\,18;\,\ldots,\;60;\,66\}\\ \\ A=\{1\cdot 6;\,2\cdot 6;\,3\cdot 6;\,\ldots,\;10\cdot 6;\,11\cdot 6\}$

que possui $n(A)=11\text{ elementos.}$


A probabilidade de sair um múltiplo de $6$ é

$p(A)=\dfrac{11}{70}$


$\bullet\;\;$ O evento $B$ é

$B=\{\text{m\'{u}ltiplos de }7\text{, de }1\text{ a }70\}\\ \\ B=\{7;\,14;\,21;\,\ldots,\;63;\,70\}\\ \\ B=\{1\cdot 7;\,2\cdot 7;\,3\cdot 7;\,\ldots,\;9\cdot 7;\,10\cdot 7\}$

que possui $n(B)=10\text{ elementos}$


A probabilidade de sair um múltiplo de $7$ é

$p(B)=\dfrac{10}{70}$


$\bullet\;\;$ Qual é a probabilidade de sair um número que seja múltiplo de $6$ e de $7$ ao mesmo tempo?

Agora, queremos saber a probabilidade de ocorrerem os evento $A$ e $B$ ao mesmo tempo, ou seja, $A \cap B:$

$A \cap B=\{\text{m\'{u}ltiplos comuns entre 6 e 7, de 1 a 70}\}\\ \\ A \cap B=\{42\}$

que possui $n(A \cap B)=1\text{ elemento.}$


Assim, a probabilidade de que o número escolhido seja múltiplo comum entre $6$ e $7$ é

$p(A \cap B)=\dfrac{1}{70}$


Logo, a probabilidade de sair uma esfera com múltiplo de $6$ ou $7$ é

$p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\ \\ p(A \cup B)=\dfrac{11}{70}+\dfrac{10}{70}-\dfrac{1}{70}\\ \\ \\p(A \cup B)=\dfrac{11+10-1}{70}\\ \\ \\ p(A \cup B)=\dfrac{20}{70}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} p(A \cup B)=\dfrac{2}{7}\cong 28,6\% \end{array}}$