Question

Ajudem Rápido


Se (x - y)² - (x + y)² = -20, então x.y é igual a:
a) 0
b) -1
c) 5
d) 10

Answer 1

A resposta que corresponde ao valor de xy na equação proposta é alternativa c) 5.

⠀

→ Para solucionar esta questão, vamos analisar a igualdade proposta

                                 $\large\begin{array}{l}\quad\quad \sf\big(x-y\big)^2-\big(x+y\big)^2=\!-\:20\end{array}$

, perceba que temos produtos notáveis, sendo:

• o quadrado da diferença de dois termos: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• o quadrado da soma de dois termos: (a + b)² = a² + 2ab + b²

→ Assim, desenvolvendo eles temos que:

$\\\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf\!\big(x-y\big)^2-\big(x+y\big)^2=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~\!\big(x\big)^{\:\!2}-2\cdot x\cdot y+\big(y\big)^{\:\!2}-\big[\big(x\big)^{\:\!2}+2\cdot x\cdot y+\big(y\big)^{\:\!2}\big]=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~x^{\:\!2}-2\:\!x\:\!y+y^{\:\!2}-\big[x^{\:\!2}+2\:\!x\:\!y+y^{\:\!2}\big]=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~x^{\:\!2}-2\:\!x\:\!y+y^{\:\!2}-x^{\:\!2}-2\:\!x\:\!y-y^{\:\!2}=\!-\:20\end{array}$

→ Veja que ao desenvolver, podemos reduzir os termos semelhantes, assim obtendo:

$\\\begin{array}{l}\sf\!\!\iff~~~\big(x^{\:\!2}-x^{\:\!2}\big)+\big(\!\!-2\:\!x\:\!y-2\:\!x\:\!y\big)+\big(y^{\:\!2}-y^{\:\!2}\big)=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~\!\big(1-1\big)x^{\:\!2}+\big(\!\!-2-2\big)\:\!x\:\!y+\big(1-1\big)y^{\:\!2}=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~\!\big(0\big)x^{\:\!2}+\big(\!\!-4\big)\:\!x\:\!y+\big(0\big)y^{\:\!2}=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~0-4\:\!x\:\!y+0=\!-\:20\\\\\sf\iff~~~\!-4\:\!x\:\!y=\!-\:20\end{array}$

→ E agora, como a questão quer saber o valor do produto xy, vamos isolar ele:

$\\\begin{array}{l}\sf\!\!\iff~~~\!-4\:\!x\:\!y\cdot\big(\!-1\big)=\!-\:20\cdot\big(\!-1\big)\\\\\sf\iff~~~4\:\!x\:\!y=20\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~4\:\!x\:\!y~}{4}=\dfrac{~20~}{4}\\\\~~\!\therefore\quad~~~\boldsymbol{\boxed{\sf xy=5}}\end{array}$

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