Question

Ajudem por favor Urgente!!! (Valendo 54 pontos)

$Q(t)=240.\frac{1}{2} ^{0,5t}$

Considere que um teste de alcoolemia, que mostra a quantidade de álcool no sangue, detectou a presença de 240 miligramas de álcool por litro de sangue em uma pessoa. A quantidade álcool, em miligramas por litro de sangue dessa pessoa, é dada pela função.

Na qual T é o tempo, em horas, decorrido desde o momento em que ela parou de beber.

A) Qual é o tempo necessário para que a quantidade de álcool no sangue seja 60 miligramas por litro?

B) Para quais valores de T a quantidade de miligramas de álcool no sangue é inferior a 30 miligramas por litro?

Answer 1

Primeiro vamos arrumar essa expressão, de modo a torná-la mais simples:

$Q(t) = 240 \times \left ( {1 \over 2 } \right)^{ 0.5t } \\\\ Q(t) = 240 \times \left( {1 \over 2 } \right)^{ {t \over 2} } \\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{ \left( { 1 \over 2} \right)^t } \\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{ \left( 2^{-1} \right)^t }\\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{2^{-t} }$

Agora que temos a expressão simplificada, fica mais fácil resolver:

A)

$60 = 240 \times \sqrt{ 2^{-t} } \\\\ \sqrt{2^{-t}} = { 60 \over 240 } \\\\ \sqrt{2^{-t} } = { 1 \over 4} \\\\ \sqrt{2^{-t} } = 2^{-2} \\\\ 2^{-t} = ( 2^{-2} )^2 \\\\ 2^{-t} = 2^{-4} \\\\ -t = -4 \\\\ t = 4$

Portanto, o tempo necessário é 4 horas.

________________

B)

$Q(t) < 30 \\\\ 240 \times \sqrt{2^{-t}} < 30 \\\\ \sqrt{2^{-t}} < { 30 \over 240 } \\\\ \sqrt{ 2^{-t} } < { 1 \over 8 } \\\\ \sqrt{ 2^{-t}} < 2^{-3} \\\\ 2^{-t} < (2^{-3} )^2 \\\\ 2^{-t} < 2^{-6} \\\\ -t < -6 \\\\ t > 6$

Para valores de t maiores que 6 horas.

Answer 2

A) Alternativa:

$Q(t) = 240 *\frac{1}{2}^{0,5 t} \\\\ 60 = 240 * (2^{-1} )^{\frac{1}{2}t } \\\\ 60 = 240 * (2^{-1} )^{\frac{t}{2} } \\\\ 2^{\frac{- t}{2} } = 60 : 240\\\\ 2^{\frac{- t}{2} } =\frac{1}{4} \\\\ 2^{\frac{-t}{2} } = 4^{-1} \\\\ 2^{\frac{- t}{2} } =(2^{2})^{-1}\\\\ 2^{\frac{- t}{2}} = 2^{-2}\\\\\\ \frac{-t}{2} = - 2\\\\ - t = 2 * (- 2)\\ \\ - t = - 4 -----multiplica (-1)\\\\ t = 4$

B) alternativa:

Como o "a < 0 < 1", então a função é decrescente; a cada valor maior de t, cai os miligramas;

Supor os valores de t maior que 4;

$Q(t) = 240 * \frac{1}{2}^{0,5t} \\\\ Q(6) = 240 * \frac{1}{2} ^{\frac{1}{2} * 6}\\\\ Q(6) = 240 * \frac{1}{2}^{3} \\\\ Q(6) = 240 * \frac{1}{8} \\\\ Q(6) = \frac{240}{8} \\\\ Q(6) = 30 ------miligramas$

Podemos perceber que t = 6; Q(t) = 30 miligramas;

Assim, para que Q(t) < 30 miligramas, t > 6