Question

Ajudem por favor Urgente!!!

Q(t)=240.\frac{1}{2} ^{0,5t}

Considere que um teste de alcoolemia, que mostra a quantidade de álcool no sangue, detectou a presença de 240 miligramas de álcool por litro de sangue em uma pessoa. A quantidade álcool, em miligramas por litro de sangue dessa pessoa, é dada pela função.

Na qual T é o tempo, em horas, decorrido desde o momento em que ela parou de beber.

A) Qual é o tempo necessário para que a quantidade de álcool no sangue seja 60 miligramas por litro?

B) Para quais valores de T a quantidade de miligramas de álcool no sangue é inferior a 30 miligramas por litro?

Answer 1

Primeiro vamos arrumar essa expressão, de modo a torná-la mais simples:

$Q(t) = 240 \times \left ( {1 \over 2 } \right)^{ 0.5t } \\\\ Q(t) = 240 \times \left( {1 \over 2 } \right)^{ {t \over 2} } \\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{ \left( { 1 \over 2} \right)^t } \\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{ \left( 2^{-1} \right)^t }\\\\ Q(t) = 240 \times \sqrt{2^{-t} }$

Agora que temos a expressão simplificada, fica mais fácil resolver:

A)

$60 = 240 \times \sqrt{ 2^{-t} } \\\\ \sqrt{2^{-t}} = { 60 \over 240 } \\\\ \sqrt{2^{-t} } = { 1 \over 4} \\\\ \sqrt{2^{-t} } = 2^{-2} \\\\ 2^{-t} = ( 2^{-2} )^2 \\\\ 2^{-t} = 2^{-4} \\\\ -t = -4 \\\\ t = 4$

Portanto, o tempo necessário é 4 horas.

________________

B)

$Q(t) < 30 \\\\ 240 \times \sqrt{2^{-t}} < 30 \\\\ \sqrt{2^{-t}} < { 30 \over 240 } \\\\ \sqrt{ 2^{-t} } < { 1 \over 8 } \\\\ \sqrt{ 2^{-t}} < 2^{-3} \\\\ 2^{-t} < (2^{-3} )^2 \\\\ 2^{-t} < 2^{-6} \\\\ -t < -6 \\\\ t > 6$

Para valores de t maiores que 6 horas.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf Q(t)=240\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t}$

$\sf 240\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t}=60$

$\sf \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t}=\dfrac{60}{240}$

$\sf \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t}=\dfrac{1}{4}$

$\sf \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t}=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2$

Igualando os expoentes:

$\sf 0,5t=2$

$\sf t=\dfrac{2}{0,5}$

$\sf t=\dfrac{20}{5}$

$\sf \red{t=4~horas}$

b)

$\sf 240\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t} < 30$

$\sf \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t} < \dfrac{30}{240}$

$\sf \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{0,5t} < \dfrac{1}{8}$

$\sf (2^{-1})^{0,5t} < \dfrac{1}{2^3}$

$\sf 2^{-0,5t} < 2^{-3}$

$\sf -0,5t < -3 ~~~~\cdot(-1)$

$\sf 0,5t > 3$

$\sf t > \dfrac{3}{0,5}$

$\sf t > \dfrac{30}{5}$

$\sf \red{t > 6~horas}$