Question

Ajudem, por favor.

Na figura abaixo está representado um plano inclinado sem atrito. Considere a roldana e o fio ideais.

Sendo a massa dos blocos A e B iguais a 30 kg e 10 kg, respectivamente, qual a aceleração do conjunto?

Dados: g = 10 m/s2, sen30º = \frac{1}{2}e cos30º =\frac{\sqrt{3}}{2}

Answer 1

Dinâmica: como resolver qualquer problema.

Obs.: leia a solução pelo navegador!

   Para resolvermos todo e qualquer problema de dinâmica , devemos olhar para duas coisas:

   1. Equações de todos os corpos;

   2. Vínculo entre as equações (vínculo entre os corpos).

   O primeiro passo é entendermos as forças que estão agindo em cada corpo. Vamos analisar cada corpo separadamente.

   Corpo A:

   Vamos fazer o equilíbrio de forças do corpo A. Suponhamos que ele vá subir o plano. Veja a imagem.

$Decompondo~a~Peso:P_x=P\cdot sen\theta~~e~~P_y=P\cdot cos\theta$

$T-P_x=m_A\cdot a_x\quad(I)\\\\P_y-N=m_A\cdot a_y\quad(II)$

   Observe que a ordem como colocamos as forças nas equações não fazem diferença para o problema, pois - caso esteja incorreta - a aceleração que vamos calcular será negativa. Ou seja, a matemática corrige nosso erro conceitual.

   Como o corpo não vai "entrar" no plano inclinado, concluímos que:

$P_y=N\quad(III)$

   De (III) e (II):

$N-N=m\cdot a_y\Rightarrow a_y=0,~pois~m_A\neq 0.$

   Corpo B:

   Agora observe na imagem o corpo B. Suponhamos que ele acelere para baixo:

$P_B-T=m_B\cdot a_B\quad(IV)$

   Vínculo entre os corpos:

   O que une os corpos é o fio. Como o fio é ideal, isto é, massa nula e inextensível. Concluímos que a única forma de B descer é se, e somente se, A subir o plano. Dessa forma, vamos pensar no comprimento de fio de B puxa, ele deve ser igual ao comprimento de fio que A "empurra" para a polia. Logo,

$X_B=X_A\xrightarrow[]{derivando~no~tempo}~\displaystyle{\frac{\mathrm{d} X_B}{\mathrm{d} t}}=\displaystyle{\frac{\mathrm{d} X_A}{\mathrm{d} t}}\\\\Ou~melhor,\\\\v_A=v_{B}\xrightarrow[]{Derivando~em~t}\displaystyle{\frac{\mathrm{d} v_B}{\mathrm{d} t}}=\displaystyle{\frac{\mathrm{d} v_A}{\mathrm{d} t}}\Rightarrow\boxed{a_B=a_A}\quad(\alpha)$

   Com isso, concluímos que a aceleração de B é igual a aceleração de A.

   A partir de (I), (IV) e (α):

$(I)+(II):\\\\\\(T-P_x)+(P_B-T)=(m_A\cdot a_x)+(m_B\cdot a_B)\xrightarrow[]{Incluindo~(\alpha)}\\\\\\ \rightarrow P_B-P_x=(m_A+m_B)\cdot A_{sist.}\\\\\\ Logo,\\\\\\ m_B\cdot g-m_A\cdot g\cdot sen\theta =(m_A+m_B)\cdot A_{sist.}\Rightarrow A_{sist.}=g\cdot\bigg [ \dfrac{m_B-m_A\cdot sen\theta}{(m_A+m_B)}\bigg]$

   Substituindo os valores e sabendo que: $\theta =30^o$

$\underline{Resposta:}~A_{sist.}=-\dfrac{g}{8}$

   O sinal foi negativo pois assumi que B desce, quando na verdade, ele sobe.

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