Question

Ajudem-me por gentileza, ficar-lhe-ei agradecido!

Answer 1

Irei ajudá-lo meu caro amigo gaboso

Primeiro de tudo, equação exponencial aqui:

2^x + y = 32

2^x + y = 2^5

x + y = 5

Ou seja, se x e y pertencem aos inteiros então só temos as seguintes possibilidades

1 + 4

2 + 3

3 + 2

4 + 1

Vamos guardar essa equação para usar no final

Indo pro logaritmo

logx na base 2 + logy na base 4 = 2

Pegando só o logy na base 4 e mexendo somente nele

logy na base 4

logy na base 2²

Usando a propriedade de logaritmo, o expoente da base passa invertido multiplicando o logaritmo, ou seja:

1/2 logy na base 2

(logy na base 2)/2

A partir daqui vou enviar uma imagem para não ficar confuso os logs e as bases

...

Chegamos a x²y = 16

Voltando lá no início, eu supus as 4 combinações possíveis de x e y, então agora é só testar uma por uma

Você vai facilmente perceber que somente a última satisfaz porque se:

x²y = 16

(4)²(1) = 16 verdadeiro

Então x = 4 e y = 1

xy = 4

Cara, eu fiz supondo que você saiba as propriedades de logaritmo mas se tiver ficado confuso pra você em qualquer parte, é só perguntar. É uma questão que exige um pouco de raciocínio lógico

Answer 2

$2^{x+y} = 32 \\ 2^{x+y} = 2^5 \\ \\ x + y = 5  \\ \\ \\ log_2x + log_4y = 2 \\ \\ log_2x + \frac{1}{2}.log_2y = 2 \\ \\ log_2x + log_2\sqrt{y} = 2 \\ \\ log_2(x.\sqrt{y}) = 2 \\ \\ x.\sqrt{y} = 2^2 \\ x.\sqrt{y} = 4 \\ \\ \left \{ {{x + y = 5} \atop {x.\sqrt{y}=4}} \right.$

$y = 5-x \\ \\ x\sqrt{5 - x} = 4 \\ \\ (x\sqrt{5-x})^2 = 4^2 \\ x^2(5 - x) = 16 \\ 5x^2 - x^3 = 16 \\ \\ -x^3 + 5x^2 - 16 = 0 \\ supondo --> x = 4 \\ \\ -(4)^3 + 5(4)^2 - 16 = 0 \\ \\ -64 + 80 - 16 \\ \\ 0 = 0$

4 é raiz da equação.

Se você reduzir ao segundo grau, vai ver que as demais raízes são IR(racionais), mas não Z(inteiras), por isso somente 4 é uma solução válida. Com x = 4, temos:

x + y = 5

4 + y = 5

y = 5 - 4

y = 1

O produto x.y = 4.1 = 4

Letra a)