Question

Ajudem-me nestaa questao por favoor Escrever na forma de um único radical , supondo a>0 e b>0 :


$(a) \frac{ \sqrt{a} }{ \sqrt[5]{ a^{2} } } (b) \sqrt{2} . \sqrt[3]{3} (c) \sqrt[3]{a} . \sqrt[4]{b}$

Answer 1

Eis uma das formas de resolver.
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Vamos utilizar:
Propriedade da potenciação: $a^m:a^n=a^{m-n}$
Propriedade da radiciação: $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}$

$a)\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[5]{a^2}} = \frac{a^\frac{1}{2}}{a^\frac{2}{5}}=a^{\frac{1}{2}-\frac{2}{5}} =a^{\frac{5}{10}-\frac{4}{10}} =a^{\frac{5-4}{10}} =a^{\frac{1}{10}} =\sqrt[10]{a}$
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Propriedade da radiciação: $\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{a\cdot b}$
Propriedade da radiciação: $\sqrt[m]{a^n}=\sqrt[mk]{a^{nk}}$
Para determinar o valor de k (novo índice), basta determinar o mmc entre os índices
$b)\ \ \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}=\sqrt[2\cdot3]{2^{1\cdot3}}\cdot\sqrt[3\cdot2]{3^{1\cdot2}}=\sqrt[6]{2^{3}}\cdot\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{2^{3}\cdot3^2}=\sqrt[6]{8\cdot9}=\sqrt[6]{72}$
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$c)\ \ \sqrt[3]{a} \cdot\sqrt[4]{b} =\sqrt[3\cdot4]{a^{1\cdot4}} \cdot\sqrt[4\cdot3]{b^{1\cdot3}} =\sqrt[12]{a^4} \cdot\sqrt[12]{b^3} = \sqrt[12]{a^4\cdot b^3}$