Question

Ajudem-me na resolução dessa questão, por favor!!!

(UECE-2020) Questão 07. A função f: |R - {-1} → |R - {1}, definida por f(x) = x/(1 + x), é invertível. Considerando-se g sua inversa, o valor positivo de k, para o qual f(k) + g(k) = √3, é igual a

A. 3√3.
B. 2√3.
C. √3.
D. √3/3.

Gabarito: D.

Answer 1

❑  Temos uma questão de função inversa. Para achar a inversa, basta seguir o seguinte raciocínio:

1. Onde tiver f(x), substituimos por x.
2. Onde tiver x, substituimos por $f^{-1}(x)$ (símbolo da função inversa).
3. Isole  $f^{-1}(x)$

➯ Passo 1: Encontrar a função inversa

• Seguindo o raciocínio dado:

$f(x) = \dfrac{x}{x+1}$

$x= \dfrac{f^{-1}(x)}{f^{-1}(x)+1}$

• Passando o denominador para o outro lado:

$x \cdot f^{-1}(x) + x = f^{-1}(x)\\x = f^{-1}(x) - x \cdot f^{-1}(x)$

• Colocando $f^{-1}(x)$ em evidência:

$x = f^{-1}(x) (1 - x)$

$\dfrac{x}{1-x} = f^{-1}(x)$

$\boxed{ f^{-1}(x) = \dfrac{x}{1-x} }$

• Note que nessa questão, a inversa é chamda de g(x):

$\boxed{ g(x) = \dfrac{x}{1-x} }$

➯ Passo 2: Encontrar f(k) e g(k)

Temos um valor k que faz com que a relação abaixo seja verdadeira:

• f(k) + g(k) = √3

• O valor de f(k) é:

$\boxed{f(k) = \dfrac{k}{k+1} }$

• O valor de g(k) é:

$\boxed{ g(k) = \dfrac{k}{1-k} }$

➯ Passo 3: Encontrar k

Logo:

$\dfrac{k}{k+1} +\dfrac{k}{1-k} = \sqrt{3}$

• Quando temos uma incógnita no denominador e vamos tirar o M.M.C, o novo M.M.C será o produto desses denominadores:

$\dfrac{k - k^{2} }{(k+1)(1-k)} +\dfrac{k+k^{2} }{(k+1)(1-k)} = \sqrt{3}$

• Note que:

$(k+1) (1-k) = k - k^{2} + 1 - k\\(k+1) (1-k) = - k^{2} + 1$

$\dfrac{k - k^{2}+k+k^{2} }{(-k^{2} + 1)} = \sqrt{3}$

$\dfrac{2k }{(-k^{2} + 1)} = \sqrt{3}$

$2k = - \sqrt{3}k^{2}+\sqrt{3}\\- \sqrt{3}k^{2} - 2k +\sqrt{3} = 0$

Multiplicando por - 1:

$\sqrt{3}k^{2} + 2k -\sqrt{3} = 0$

• Chegamos a uma equação do segundo grau. Temos que:

$\Delta = 4 - 4 \cdot - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\\\Delta = 4 + 4 \cdot 3\\\Delta = 4 + 12\\\Delta = 16$

• Aplicando na equação de Bhaskara:

$k = \dfrac{-2 \pm \sqrt{16} }{2 \cdot \sqrt{3} }\\\\k = \dfrac{-2 \pm 4 }{2 \cdot \sqrt{3} }\\\\k = \dfrac{-1 \pm 2}{ \sqrt{3} }$

$k' = \dfrac{-1+2}{ \sqrt{3} }\\\\\ k' = \dfrac{1}{ \sqrt{3}}\\k' = \dfrac{1}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}$

$\boxed{k'= \dfrac{\sqrt{3} }{3} }$

• Encontramos o resultado! Note que a outra raiz daria negativa, mas não há nenhum valor negativo nas alternativas, então não há razão para calculá-la.

❑ Leia mais sobre função inversa em:

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