Question

Ajudem com álgebra PFFFF
mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) não é combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

Os vetores $\{\vec{v_1},~\vec{v_2},~\vec{v_3},~\cdots,~\vec{v_k}\}$ são linearmente dependentes se pelo menos um de seus vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores, isto, é, se existem coeficientes $\alpha,~\beta,~\cdots,~\gamma\in\mathbb{R}$ tais que $\vec{v_1}=\alpha\cdot \vec{v_2}+\beta\cdot \vec{v_3}+\cdots+\gamma\cdot \vec{v_k}$.

Por sua vez, também podemos demonstrar que um vetor não é combinação de outros vetores se o sistema formado tem solução única, isto é, se é possível e determinado, ou ainda, se o determinante da matriz dos coeficientes (caso quadrada) é diferente de zero.

Utilizando os vetores cedidos pelo enunciado, podemos montar o seguinte determinante:

$\begin{vmatrix}4&3&-6\\1&-3&2\\2&4&-1\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilizando a Regra de Sarrus: replicamos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calculamos diferença entre a soma dos produtos das diagonais principais e a soma dos produtos das diagonais secundárias.

Replicamos as colunas e calculamos o determinante:

$\begin{vmatrix}4&3&-6\\1&-3&2\\2&4&-1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}4&3\\1&-3\\2&4\\\end{matrix}\\\\\\ 4\cdot(-3)\cdot(-1)+3\cdot2\cdot2+(-6)\cdot1\cdot4-(3\cdot1\cdot(-1)+4\cdot2\cdot4+(-6)\cdot(-3)\cdot2)\\\\\\ 12+12-24-(-3+32+36)\\\\\\ -65\neq0$

Dessa forma, demonstramos que o vetor $\vec{v}$ não é combinação linear dos vetores $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$.