Matemática, perguntado por batistap55, 1 ano atrás

Ajude por favor................


Usando a Regra de L'Hospital, verifique a convergência ou divergência da sequência

an = raiz de (n + 5)/n^2,

e em seguida assinale a alternativa CORRETA.

Converge para 0


Diverge


Converge para 2


Converge para 1/2


Converge para 1

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
1
a_n=\dfrac{\sqrt{n+5}}{n^2}


Tomemos a função associada a esta sequência

f(x)=\dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2}


Calculando o limite quando x\to \infty,

\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~f(x)\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2}


Indeterminação ∞/∞. Pela Regra de L'Hospital

(se o limite abaixo existir, então)

=\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+5})}{\frac{d}{dx}(x^2)}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x+5}}\right)}{2x}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}\cdot\dfrac{1}{2x}\\\\\\ =\underset{x\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{1}{4x\sqrt{x+5}}\\\\\\ =0


Logo a sequência a_n converge para o mesmo valor do limite encontrado:

\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}~a_n=0


converge para 0 (zero)


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


batistap55: Obrigada Lukyo
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