Question

ajudaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Answer 1

Resposta: 5(x² + y²) - 14x + 7y - 24 = 0

Sabe-se que a equação canônica (forma padrão) ou reduzida de uma circunferência representada no plano cartesiano é dada por:

(x - x0)² + (y - y0)² = r²

Onde x0 e y0 são, respectivamente, a abscissa e ordenada do ponto que designa o seu centro (ponto O(x0, y0)) e r² é o quadrado da medida de seu raio r. Também é sabido (do enunciado que foi excluído) que a circunferência passa pelos pontos P1 (0, - 3) e P2 (4, 0) e tem centro O (x0, y0) sobre a reta x + 2y = 0. Logo:

(0 - x0)² + (- 3 - y0)² = r² (i)

(4 - x0)² + (0 - y0)² = r² (ii)

e

x0 + 2y0 = 0 => x0 = - 2y0 (iii)

Substituindo (iii) em (ii) e (i), obteremos:

(2y0)² + (y0 + 3)² = r² =>

4y0² + y0² + 6y0 + 9 = r² =>

5y0² + 6y0 + 9 = r² (iv)

e

(2y0 + 4)² + y0² = r² =>

[2(y0 + 2)]² + y0² = r² =>

4(y0² + 4y0 + 4) + y0² = r² =>

4y0² + 16y0 + 16 + y0² = r² =>

5y0² + 16y0 + 16 = r² (v)

Fazendo (v) - (iv), obteremos:

5y0² - 5y0² + 16y0 - 6y0 + 16 - 9 = r² - r² =>

10y0 + 7 = 0 =>

y0 = - 7/10 (vi)

Substituindo (vi) em (iii), encontraremos o valor de x0 (abscissa do centro). Continuando:

x0 = - 2(- 7/10) =>

x0 = 14/10 =>

x0 = 7/5

Acarretando que o centro será o ponto O(x0, y0) = O(7/5, - 7/10). A circunferência tem centro em O(7/5, - 7/10) e também passa pelo ponto P1(0, - 3), logo, o quadrado do comprimento do raio será dado pelo quadrado da distância entre eles.

Continuando...

d²(O, P1) = (7/5)² + (23/10)² =>

d²(O, P1) = 49/25 + 529/100 =>

d²(O, P1) = 196/100 + 529/100 =>

d²(O, P1) = 725/100 =>

d²(O, P1) = 29/4 = r²

Assim sendo, a equação canônica e geral (forma geral) serão dadas por:

(x - 7/5)² + [y - (- 7/10)]² * = 29/4 =>

(x - 7/5)² + (y + 7/10)² = 29/4 =>

x² - 14x/5 + 49/25 + y² + 14y/10 + 49/100 = 29/4 =>

x² + y² - 14x/5 + 14y/10 + 196/100 + 49/100 = 725/100 =>

x² + y² - 14x/5 + 7y/5 = 725/100 - 245/100 =>

x² + y² - 14x/5 + 7y/5 = 24/5 =>

5(x² + y²) - 14x + 7y = 24 =>

5(x² + y²) - 14x + 7y - 24 = 0 **

Letra b) (segundo item de cima para baixo)

* Forma Canônica: (x - 7/5)² + [y - (- 7/10)]² = (x - 7/5)² + (y + 7/10)² = 29/4

** Forma Geral: 5(x² + y²) - 14x + 7y - 24 = 0

Abraços!