Question

Ajudaaa

1. Mostre as seguintes propriedades:
a) sen(t) = cos(π 2 −t) e cos(t) = sen(π 2 −t). b) −sen(t) = sen(π + t) e −cos(t) = cos(π + t). c) cos(2α) = cos2(α)−sen2(α). d) sen(2α) = 2sen(α)cos(α).
e) cos2(α) = 1+cos(2α) 2 . f) sen2(α) = 1−cos(2α)

Answer 1

As demonstrações das propriedades estão logo abaixo.

Para os itens a), b), c) e d) utilizaremos o seno da soma e da diferença, cosseno da soma e da diferença:

Seno da soma: sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)

Seno da diferença: sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a)

Cosseno da soma: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)

Cosseno da diferença: cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b).

a) cos(π/2 - t) = cos(π/2).cos(t) + sen(π/2).sen(t) = sen(t);

sen(π/2 - t) = sen(π/2).cos(t) - sen(t).cos(π/2) = cos(t).

b) sen(π + t) = sen(π).cos(t) + sen(t).cos(π) = -sen(t);

cos(π + t) = cos(π).cos(t) - sen(π).sen(t) = -cos(t).

c) cos(2a) = cos(a + a) = cos(a).cos(a) - sen(a).sen(a) = cos²(a) - sen²(a);

d) sen(2a) = sen(a + a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) = 2sen(a).cos(a).

e) Perceba que 2.cos²(a) - 1 = cos²(a) - sen²(a). Assim,

cos²(a) - 1 = (-1 + cos(2a))/2

cos²(a) = (1 + cos(2a)/2.

f) Da mesma forma, temos que 2sen²(a) - 1 = -cos²(a) + sen²(a).

Daí,

sen²(a) - 1 = -cos²(a)

sen²(a) - 1 = -(1 + cos(2a))/2

sen²(a) - 1 = (-1 - cos(2a))/2

sen²(a) = (1 - cos(2a))/2.