Question

Ajuda urgente.

Determine o conjunto solução das seguintes equações logaritmicas:

1- $log_{3}$ (x² - 5x + 5) = 0
e
2- $log_{4}$ x + $log_{4}$ (x + 12) = 3

Answer 1

1- $\mathrm{\ell og}_{3}\left(x^{2}-5x+5 \right )=0$

Restrição para as soluções: $x^{2}-5x+5>0$


$\mathrm{\ell og}_{3}\left(x^{2}-5x+5 \right )=\mathrm{\ell og}_{3\,}1\\ \\ x^{2}-5x+5=1\\ \\ x^{2}-5x+5-1=0\\ \\ x^{2}-5x+4=0\\ \\ x^{2}-x-4x+4=0\\ \\ x\cdot\left(x-1 \right )-4\cdot \left(x-1 \right )=0\\ \\ \left(x-1 \right )\cdot \left(x-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-1=0&\text{ ou }&x-4=0\\ \\ x=1&\text{ ou }&x=4 \end{array}$


Testando as soluções para ver se satisfazem à restrição:

$\bullet\;\;x=1\\ \\ \left(1 \right )^{2}-5\cdot\left(1 \right )+5>0\\ \\ 1-5+5>0\\ \\ 1>0\;\;\;\;\text{(verdadeiro)}\\ \\ \\ \bullet\;\;x=4\\ \\ \left(4 \right )^{2}-5\cdot \left(4 \right )+5>0\\ \\ 16-20+5>0\\ \\ -1>0\;\;\;\;\text{(falso)}$


Logo, o conjunto solução é

$S=\left\{1 \right \}$


2- $\mathrm{\ell og}_{4\,}x+\mathrm{\ell og}_{4}\left(x+12 \right )=3$

Restrições para a solução:

$\begin{array}{rcl} x>0&\text{ e }&x+12>0\\ \\ x>0&\text{ e }&x>-12\\ \\ &x>0& \end{array}$


$\mathrm{\ell og}_{4}\left[\;x\cdot\left(x+12 \right )\; \right ]=3\,\mathrm{\ell og}_{4\,}4\\ \\ \mathrm{\ell og}_{4}\left[\;x\cdot\left(x+12 \right )\; \right ]=\mathrm{\ell og}_{4}\left(4^{3} \right )\\ \\ \mathrm{\ell og}_{4}\left[\;x\cdot\left(x+12 \right )\; \right ]=\mathrm{\ell og}_{4\,}64\\ \\ x\cdot \left(x+12 \right )=64\\ \\ x^{2}+12x-64=0\\ \\ x^{2}-4x+16x-64=0\\ \\ x\cdot \left(x-4 \right )+16\cdot \left(x-4 \right )=0\\ \\ \left(x-4 \right )\cdot \left(x+16 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-4=0&\text{ ou }&x+16=0\\ \\ x=4&\text{ ou }&x=-16\;\;\text{(n\~{a}o serve)}\\ \\ &x=4& \end{array}$


O conjunto solução é

$S=\left\{4 \right \}$