Question

AJUDA PORFAVOOOOOOOOOOOOOOOOOOR É URGENTE


Considere os números complexos a seguir para responder.



z1= 1 + i z2= 3 + 4i e z3= $\sqrt{-1}$


a)A área do triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos z1,z2 e z3 é, em unidades de área, igual a:


b)A forma trigonométrica de z1 é:


c) calculando [Z1]10^ + 2 x (z3)^60 - Z2(possui um traço riscado emcima) + [tex]\frac{z2 x z2(tem traço emcima) x | Z2 | ^2 obteremos??

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos.

Sejam os seguintes números complexos $z_1=1+i,~z_2=3+4i$ e $z_3=\sqrt{-1}$.

Antes de iniciar a resolução, lembre-se que a unidade imaginária $i=\sqrt{-1}$, logo $z_3=i$.

Devemos calcular:

a) A área do triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos $z_1,~z_2$ e $z_3$.

Primeiro, devemos encontrar seus afixos. Lembre-se que dado um número complexo na forma algébrica $z=a+bi,~a,~b\in\mathbb{R}$, seu afixo é o par ordenado $(a,~b)$.

Assim, teremos os respectivos pares ordenados: $z_1(1,~1),~z_2(3,~4)$ e $z_3(0,~1)$.

Lembre-se que a área $A$ de um triângulo cujos vértices são os pares ordenados $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ pode ser calculada pela fórmula: $A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$.

Logo, teremos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}1&1&1\\3&4&1\\0&1&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcular este determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz original e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&1\\0&1&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}1&1\\3&4\\0&1\\\end{matrix}\right|$

Aplique a regra de Sarrus

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|1\cdot4\cdot1+1\cdot1\cdot 0+1\cdot3\cdot1-(1\cdot4\cdot 0+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1)|$

Multiplique e some os termos

$A=\dfrac{1}{2}\cdot|4+0+3-(0+3+1)|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot3\\\\\\ A=\dfrac{3}{2}~\bold{u.~a}$

b) A forma trigonométrica do número complexo $z_1$.

Lembre-se que a forma trigonométrica de um número complexo de forma algébrica $z=a+bi$ é $z=|z|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$, em que $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ é o módulo do número complexo e $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right),~a\neq0$ é o argumento.

Calculando o módulo de $z_1$, temos:

$|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Calculando seu argumento, temos:

$\theta=\arctan\left(\dfrac{1}{1}\right)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$

Assim, a forma trigonométrica de $z_1$ é:

$z_1=\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

c) O valor da expressão ${z_1}^{10}+2\cdot {z_3}^{60}-\overline{z_2}+z_2\cdot \overline{z_2}\cdot |z_2|^2$

Substituindo os números complexos, temos:

$(1+i)^{10}+2\cdot i^{60}-\overline{3+4i}+(3+4i)\cdot\overline{3+4i} \cdot |3+4i|^2$

Para calcular o primeiro termo, utilizamos a Primeira Fórmula de De Moivre para calcular a potência de um número complexo.

Dado um número complexo de forma trigonométrica $z=|z|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$, sua potência $z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\cdot\theta)+i\cdot\sin(n\cdot\theta))$.

Utilizando o resultado da letra b) e $n=10$, teremos:

$(1+i)^{10}=(\sqrt{2})^{10}\cdot\left(\cos\left(10\cdot \dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(10\cdot \dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

Calcule a potência e multiplique os valores

$(1+i)^{10}=32\cdot\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)\right)$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=0$ e $\sin\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=1$, temos:

$(1+i)^{10}=32i$

Agora, calculamos a potência de $i$

Lembre-se que as potências fundamentais de $i$ são $i^0=1,~i^1=i,~i^2=-1$ e $i^3=-i$ e têm período igual a $4$, ou seja, passam a se repetir a partir do expoente

Para calcular qualquer potência, dividimos o expoente por $4$ e utilizamos o resto da divisão como novo expoente para encontrar como resultado uma das potências fundamentais.

Assim, sabendo que $60=4\cdot15+0$, teremos:

$i^{60}=i^0=1$

Então, calculamos o conjugado de $z_2$. Lembre-se que o conjugado de um número complexo de forma algébrica $z=a+bi$ e $\overline{z}=a-bi$.

Facilmente, teremos:

$\overline{z_2}=3-4i$

Por fim, calculamos a fração $\dfrac{z_2\cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}$.

Lembre-se que $z\cdot \overline{z}=|z|^2$

Logo, teremos:

$1$

O valor da expressão é:

$32i+2-(3-4i)+1\\\\\\ 32i+2-3+4i+1\\\\\\ 36i~~\checkmark$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)A área do triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos z1,z2 e z3 é, em unidades de área, igual a:

b)A forma trigonométrica de z1 é:

c) calculando [Z1]10^ + 2 x (z3)^60 - Z2(possui um traço riscado emcima) + [tex]\frac{z2 x z2(tem traço emcima) x | Z2 | ^2 obteremos?