Question

Ajuda por favor - (UFG GO/2009/2ª Fase) O eucalipto é muito usado para a produção de papéis e celulose por causa da qualidade da matéria-prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantação de terminada espécie adequada ao clima e ao tipo de solo de tal região.
Essa espécie tem seu crescimento modelado pela função , onde h é a altura (em metros) em função do tempo t (em anos) e k é uma constante. Sabe-se que esse eucalipto alcança a altura de 10 m em 2 anos e que o produtor realizará o corte quando as árvores tiverem 8 anos.
Com base nestas informações, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terão, em metros, quando o produtor for realizar o corte.

Answer 1

Substitui o k pelo + para poder desenvolver o exercício:

h(t)]= 50(1-10⁻ⁿ⁺)

h(2) =10,   = +2

10 = 50(1-10⁻ⁿ⁺)

10/50 = (1 - 10⁻²ⁿ)
1/5 - 1 = -10⁻²ⁿ
-4/5 = -10⁻²ⁿ

4/5 = 10⁻²ⁿ

8/10 = 10⁻²ⁿ

log(8/10) = log10⁻²ⁿ

Observe que log(8/10) = log 8 - log 10

log 8 - log 10 = log10⁻²ⁿ
log 2³ - log 10 = log 10⁻²ⁿ

log 10 = 1

log 2³ - 1 = -2n

3log2 -1 = -2n
(3log2 -1)/2 = -n

(1 - 3log2)/2 = n

log 2 ≈ 0,301

n = (1 - 3.0,301)/2 = 0,0405 = k

Altura quando o eucalipto tiver 8 anos:

H = 50(1-10⁻ⁿ⁺)
H = 50(1-10⁻ⁿ⁸)
H = 50(1- (10⁻ⁿ²)⁴)

Como 10⁻ⁿ² = 4/5, substituir:

H = 50(1- (4/5)⁴)

H = 50(1 - 256/625)
H = 50.(0,5904) = 29,52m