Question

Ajuda por favor. Sobre descontinuidade ​

Answer 1

Temos as seguintes restrições sobre a função:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x {}^{2} + 3}{5},\: \: \: \: se \: \: \: x \leqslant 1 \\ 6 - 5x,\: \: \: se \: \: \: 1 < x < 3 \\ x - 3,\: \: \: se \: \: \: x \geqslant 3\end{cases}$

Para uma função ser contínua, ela deve cumprir três condições, que são:

$1)f(x) \rightarrow definida \\ \\ 2)\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{ - }}f(x) \\ \\ 3)\lim_{x\rightarrow a^{}}f(x) = f(x)$

Vamos verificar a continuidade dessa função apenas nos pontos apresentados que são 1 e 3.

• Verificação da continuidade quando x = 1:

→ Restrição 1:

$f(x) = \frac{2x {}^{2} + 3}{5} \\ \\ f(1) = \frac{2.1 {}^{2} + 3 }{5 } \\ \\ f(1) = \frac{5}{5} = \boxed{1}$

• A função f(1) é sim definida, pois se você observar temos que x ≥ 1 corresponde a função 2x²+3/5, ou seja, x é maior ou IGUAL a 1, esse sinal de IGUAL indica a definição da função.

→ Restrição 2:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{ - }}f(x) \\ \\ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}6 - 5x = \lim_{x\rightarrow 1^{ - }} \frac{2x {}^{2} + 3 }{5}$

As funções usadas não são as mesmas, pois os limites laterais são diferentes em relação ao seu ponto de tendência, pois um tende pela direita e outro tende pela esquerda. "x" tendendo a 1 pela direita quer dizer valores maiores que 1, ou seja, pelas restrições temos que corresponde a função 6-5x, já quando "x" tende à 1 pela esquerda temos que x se aproxima de "1" por valores maiores que "1", ou seja, a função corresponde que é 2x²+3/5.

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}} 6 - 5.1 = \lim_{x\rightarrow 1^{ - }} \frac{2.1 {}^{2} + 3 } {5} \\ \\ \lim_{x\rightarrow 1^{+}}1 = \lim_{x\rightarrow 1^{ - }}1 \\ \\ \boxed{1 = 1} \rightarrow \exists\lim_{x\rightarrow 1^{}}f(x)$

→ Restrição 3:

$\lim_{x\rightarrow 1^{}}f(x) = f(x) \\ \\ \boxed{1 = 1}$

• Portanto podemos concluir que a função é sim contínua em x = 1.

• Agora vamos verificar se a função é contínua em x = 3:

→ Restrição 1:

$f(x) = x - 3 \\ f(3) = 3 - 3 \\ f(3) = 0$

Do mesmo jeito do item anterior, temos o sinal de igual, ou seja, definida em tal ponto.

→ Restrição 2:

$\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow 3^{ - }}f(x) \\ \\ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}x - 3= \lim_{x\rightarrow 3^{ - }}6 - 5x\\ \\ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}3 - 3= \lim_{x\rightarrow 3^{ - }} 6 - 5.3\\ \\ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}0 = \lim_{x\rightarrow 3^{ - }}6 - 15 \\ \\ \lim_{x\rightarrow 3^{+}}0= \lim_{x\rightarrow 3^{ - }} - 9\\ \\ \boxed{0 = - 9} \rightarrow \nexists\lim_{x\rightarrow 3^{}}f(x)$

As funções foram estabelecidas na mesma lógica do item anterior.

Como a função não possui os limites laterais iguais, logo não existirá o limite bilateral, além de que não cumpriu uma das condições, ou seja, ela é descontínua em x = 3.

• Resposta: a função é descontínua em x = 3.

OBS: O gráfico não contém os pontos de definição e indefinição.

Espero ter ajudado