Question

!! AJUDA POR FAVOR!!
Resolver a Equação Diferencial homogênea

Answer 1

Resposta:

resposta na imagem. bons estudos

Answer 2

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y}{x}$

Esta é uma equação diferencial ordinária linear e homogênea de primeira ordem. Podemos simplificar a fração à direita da igualdade, temos:

$\dfrac{dy}{dx}=1-\dfrac{y}{x}$

Some $\dfrac{y}{x}$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{y}{x}=1$

Esta é uma equação diferencial de Bernoulli, que assume a forma: $y'+P(x)y=Q(x)y^n$, com $n=0$. Suas soluções podem ser calculadas pelo método do fator integrante, isto é, devemos encontrar uma função $\mu(x)$ que ao multiplicarmos ambos os lados da igualdade, a solução desta equação diferencial satisfaça a igualdade: $\displaystyle{ y\cdot \mu(x)=\int Q(x)\cdot\mu(x)\,dx}$.

Neste caso, o fator integrante pode ser calculado pela fórmula: $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Substituindo $P(x)=\dfrac{1}{x}$, calculamos o fator integrante:

$\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\,dx}$

Calculamos a integral no expoente: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx}$

Esta é uma integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,~C\in\mathbb{R}$

$\mu(x)=e^{\ln|x|}$

Aplique a propriedade de potências: $a^{\log_a(b)}=b,~0\neq a>1,~b>0$, sabendo que $\ln(x)=\log_e(x)$.

$\mu(x)=x$

Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo fator integrante:

$|x|\cdot\left(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{y}{x}\right)=|x|\cdot 1\\\\\\ |x|\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{|x|}{x}\cdot y=|x|$

Para $x\in\mathbb{R}^*$, vale que $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{|x|}$. Então, temos:

$|x|\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{x}{|x|}\cdot y=|x|$

Podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade da seguinte forma, de acordo com a regra do produto:

$(|x|\cdot y)'=|x|$

Integrando ambos os lados em respeito à variável $x$, temos:

$\displaystyle{\int (|x|\cdot y)'\,dx=\int |x|\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma derivada, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, é igual a própria função acrescida de uma constante: $\displaystyle{\int \dfrac{dF(x)}{dx}\,dx=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}$.
• A integral da função $|x|$ depende do sinal da função em módulo no intervalo que está compreendido. Em $\mathbb{R}^*$, vale que $\displaystyle{\int |x|\,dx=\dfrac{x^3}{2\cdot |x|}+C,~C\in\mathbb{R}$.

Calcule as integrais

$|x|\cdot y=\dfrac{x^3}{2\cdot|x|}+C$

Some os valores no expoente e no denominador e divida ambos os lados da igualdade por um fator $|x|$

$y=\dfrac{x^3}{2\cdot(|x|)^2}+\dfrac{C}{|x|}$

Em particular, para $\forall{x}\in\mathbb{R}$, vem que $(|x|)^2=x^2$, logo:

$y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{|x|},~C\in\mathbb{R}$

Estas são as soluções desta equação diferencial.