Question

Ajuda, por favor:
Resolva, em X, a equação matricial, onde In é matriz identidade: A.X^(-1 ).B^(-1) = In
OBS: X^(-1) é inversa de X
assim com B^(-1)

Answer 1

Considerando matrizes onde o produto seja bem definido em qualquer dos seguintes desenvolvimentos, temos:

$A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=I_{n}$

Multiplicando, a direita, os dois lados da equação por B:

$A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}\cdot B=I_{n}\cdot B$

Como $B^{-1}\cdot B=B\cdot B^{-1}=I_{n}$ e $I_{n}\cdot B=B$:

$A\cdot X^{-1}\cdot I_{n}=B\\\\A\cdot X^{-1}=B$

Multiplicando, a direita, os dois lados por X:

$A\cdot X^{-1}\cdot X=B\cdot X\\\\A\cdot I_{n}=B\cdot X\\\\A=B\cdot X$

Multiplicando, a esquerda, os dois lados pela inversa de B:

$B^{-1}\cdot A=B^{-1}\cdot B\cdot X\\\\B^{-1}\cdot A=I_{n}\cdot X\\\\\\\boxed{\boxed{X=B^{-1}\cdot A}}$
________________________

Prova real:

$A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=A\cdot(B^{-1}\cdot A)^{-1}\cdot B^{-1}$

Sabemos que $(X\cdot Y)^{-1}=Y^{-1}\cdot X^{-1}$:

$A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=A\cdot A^{-1}\cdot (B^{-1})^{-1}\cdot B^{-1}\\\\A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=I_{n}\cdot B\cdot B^{-1}\\\\A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=I_{n}\cdot I_{n}\\\\\boxed{\boxed{A\cdot X^{-1}\cdot B^{-1}=I_{n},~como~esper\'avamos}}$