Question

ajuda por favor
Os professores Marta e Wagner citam a vantagem de se construir uma aula onde se representa uma função através de um polinômio de Taylor. Consulte no Google em ... o tema Séries de Taylor e MacLaurin e nos mostre como fica “escrita” a função f(x) = cose (x) representada por um polinômio de grau 8, em torno do ponto x0=0

Answer 1

por favor alguém sabe

Answer 2

Utilizando as definições de polinômio de Taylor, temos que o polinômio de 8 graus que representa o cosseno de x é:

$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}$

Explicação passo-a-passo:

Um polinômio de Taylor é representado pela somatória das derivadas ao redor do ponto vozes a própria variável:

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{[n]}(x_0)}{n!}.(x-x_0)^{n}$

Como nosso x0 é 0, então fica um pouco mais facil:

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{[n]}(0)}{n!}.x^n$

Assim basta escrevermos todas as derivadas de cossenos em 0 até a 8 derivada:

$cos^{[0]}(0)=1$

$cos^{[1]}(0)=-sen(0)=0$

$cos^{[2]}(0)=-cos(0)=-1$

$cos^{[3]}(0)=sen(0)=0$

$cos^{[4]}(0)=cos(0)=1$

$cos^{[5]}(0)=-sen(0)=0$

$cos^{[6]}(0)=-cos(0)=-1$

$cos^{[7]}(0)=sen(0)=0$

$cos^{[8]}(0)=cos(0)=1$

Notamos que todas as derivada pares são 1 ou -2, e a impares são 0, ou seja, nosso polinômios vai ser só de graus pares, assim substituindo na série:

$cos(x)=1-1.\frac{x^2}{2!}+1.\frac{x^4}{4!}-1.\frac{x^6}{6!}+1.\frac{x^8}{8!}$

$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}$

Assim temos que o polinômio de 8 graus que representa o cosseno de x é:

$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}$