Question

Ajuda por favor numa outra questão de limites com x tendendo a ∞. Obrigada?

Vi algumas soluções dessa questão na internet. Foram soluções que no final não foi calculado o limite pela esquerda e nem pela direita. Ou seja, a resposta vem sem ser feita essa análise. A tentar fazer essa análise fiquei confusa.

lim[√(x²+4x) - √(x²+1)] =
x-->∞

Eu desenvolvi e concluí que:
lim[√(x²+4x) - √(x²+1)] =
x-->∞

lim{(4x-1)/(2|x|)
x-->∞
como, a partir daqui, eu concluo que os limites laterais são iguais a 2, e que, portanto o limite da função é 2?

Answer 1

$L=\displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1})}\\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{(\sqrt{x^{2}+4x}-\sqrt{x^{2}+1})\cdot (\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1})}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{(\sqrt{x^{2}+4x})^{2}-(\sqrt{x^{2}+1})^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x}+\sqrt{x^{2}+1}}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^{2}+4x-(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{4}{x} \right )}+\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}} \right )}}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{4x-1}{\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{x^{2}}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{4x-1}{\sqrt{x^{2}}\cdot \left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \right)}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{4x-1}{|x|\cdot \left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \right)}$


Como $x\to \infty,$ temos que $x>0.$ Portanto,

$|x|=x,\text{ pois }x>0.$


Voltando ao limite, temos

$L=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{4x-1}{x\cdot \left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \right)}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{4\diagup\!\!\!\! x\left(1-\frac{1}{4x}\right)}{\diagup\!\!\!\! x\cdot \left(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} \right)}\\ \\ \\ =\lim_{x\to \infty}\dfrac{4\left(1-\frac{1}{4x}\right)}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}$


Agora que não há mais indeterminações, temos que

$L=\dfrac{4\cdot (1+0)}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}\\ \\ \\ =\dfrac{4\cdot 1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}\\ \\ \\ =\dfrac{4}{1+1}\\ \\ \\ =\dfrac{4}{2}\\ \\ \\ =2.$