Question

Ajuda por favor! Determine a solução da inequação (3 – x)(2x – 1) ≤ 0.
Cálculo por favor para que eu consiga entender.

Answer 1

Temos uma inequação - produto, pois tem-se o produto de duas expressões (podemos chamar de funções), sendo menor ou igual a zero.

$\begin{array}{l}\\\underbrace{\sf(3-x)}_{\sf f(x)}\cdot\underbrace{(\sf2x-1)}_{\sf g(x)}\,\leq0\,\\\\\end{array}$

Primeiro, vamos fazer o estudo do sinal para cada função, iguale a zero e extraia as raízes:

$\begin{array}{cc}\\\sf f(x)=3-x\quad ,\quad g(x)=2x-1\\\\\sf 3-x=0\quad ,\quad 2x-1=0\\\\\sf -x=-3\quad ,\quad 2x=1\\\\\sf x=3\quad ,\quad x=\dfrac{1}{2}\\\\\end{array}$

Em f(x) (com a < 0):

• f(x) > 0 se x < 3
• f(x) < 0  se x > 3
• f(x) = 0 se x = 3

$~~$

Em g(x) (com a > 0):

• g(x) > 0 se x > 1/2
• g(x) < 0  se x < 1/2
• g(x) = 0 se x = 1/2

$~~$

Dessa forma vamos escrever esse resultado nos intervalos

• Obs.: no intervalo do produto de f(x) e g(x), faça o jogo de sinais dos outros dois intervalos.

         $\\~~~~~~~~~~\large\begin{array}{l}\sf f(x)\quad\, \!\overset{++++++++++++++++++++++}{\textsf{---------------------------------------}}\!\!\:\!\:\!\underset{3}{\bullet}\!\!\:\!\overset{\!\!-------}{\textsf{---------------}}\!\!\!\!\!\!\:\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

         $~~~~~~~~~~\large\begin{array}{l}\sf g(x)\quad\, \!\overset{------}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\:\!\!\!\!\!\underset{~~1/2~~}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\!\:\!\overset{\!\!\!++++++++++++++++++++++}{\textsf{------------------------------------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

$\large\begin{array}{l}\sf f(x)\cdot g(x)\quad\, \!\overset{------}{\textsf{------------}}\!\!\!\!\:\!\!\!\!\!\underset{~~1/2~~}{\bullet}\!\!\!\!\!\!\!\:\!\overset{\!\!\!+++++++++++++++}{\textsf{---------------------------}}\!\!\!\!\!\!\!\underset{~~3~~}{\bullet}\!\!\!\!\!\overset{\!\!\!-------}{\textsf{---------------}}\!\!\!\!\!\:\!\:\!\blacktriangleright\end{array}$

Por causa do sinal menor ou igual do inicio, quer dizer então valores negativos, assim onde tem os negativos no intervalo do produto é a nossa resposta.

Vemos valores menores ou iguais a 1/2, e valores maiores ou iguais a 3, assim o conjunto solução desta inequação é:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\quad\sf S=\bigg\{\:x\in\mathbb{R}~/~x\,\leq\,\dfrac{1}{2}\quad ou\quad x\,\geq\,3\:\bigg\}\quad\\\\\end{array}}}$

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Att. Nasgovaskov

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Nota: caso tenha problemas para visualizar os intervalos pelo App, acesse o navegador modo desktop.

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