Question

AJUDA POR FAVOR
Alice se encontra em um ponto A e avista o topo de um prédio sob um ângulo de 45º. Quando ela se aproxima 100 m do prédio em um ponto B, ela avista o topo do mesmo prédio sobre um ângulo de 60º. Quanto mede a altura do prédio? (Dado: sen 45º = 0,70; sen 60º = 0,86, cos 45º = 0,70, cos 60º = 0,50, tg 45º = 1; tg 60º = 1,73) ​

Answer 1

A altura do prédio é 236,6 m.

• Observe na imagem anexa que h representa a altura do prédio e d a distância entre o ponto B e o prédio.
• O ângulo no vértice A mede 45°, no vértice C é reto e portanto no vértice D mede 45°, pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
• Dessa forma se o triângulo ACD possui dois ângulos congruentes (medindo 45°) então possui também dois lados congruentes: AC e CD, portanto:

AC = CD

h = 100 + d

h − d = 100 ①

• Observe no triângulo retângulo BCD que a altura (h) do prédio representa o cateto oposto ao ângulo de 60° e a distância d corresponde ao cateto adjacente ao mesmo ângulo, portanto pode-se aplicar a razão trigonométrica tangente.

• A tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a ele.

$\large \sf tangente = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto~adjacente}$

$\large \sf tg~60\textdegree = \dfrac{h}{d}$  ⟹ Substitua o valor da tangente.

$\large \sf \sqrt 3 = \dfrac{h}{d}$

$\large \sf d = \dfrac{h}{\sqrt 3}$

• Substitua o valor de d na equação ①.

h − d = 100

$\large \sf h - \dfrac{h}{\sqrt 3} = 100$  ⟹ Fatore.

$\large \sf h \left( 1 - \dfrac{1}{\sqrt 3} \right) = 100$  ⟹ Escreva a subtração em denominador comum.

$\large \sf h \left( \dfrac{\sqrt 3 - 1}{\sqrt 3} \right) = 100$  ⟹ Isole h.

$\large \sf h = \dfrac{100 \cdot \sqrt 3}{\sqrt 3-1}$  ⟹ Racionalize  denominador.

$\large \sf h = \dfrac{100 \cdot \sqrt 3}{\sqrt 3-1} \cdot \dfrac {\sqrt 3 + 1}{\sqrt 3 + 1}$

$\large \sf h = \dfrac{100 \cdot \sqrt 3\cdot (\sqrt 3 + 1)}{3-1}$  ⟹ Simplifique.

$\large \sf h = 50 \sqrt 3\cdot (\sqrt 3 + 1)$  ⟹ Execute a operação distributiva …

$\large \sf h = 50 \cdot 3 + 50 \cdot \sqrt 3$

$\large \sf h = 150 + 50 \cdot \sqrt 3$

h = 236,6 m

A altura do prédio é 236,6 m.

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