Question

AJUDA PFVR

Verifique que cada uma das igualdades a seguir é
verdadeira:

Answer 1

Verificamos as identidades abaixo escrevendo as funções trigonométricas na forma de senos e cossenos

a) $\dfrac{sec (a)+tg(a)}{cos(a)+cotg(a)}=tg(a)\cdot sec(a)$

b) $\dfrac{tg(a)+cotg(a)}{sec(a)}=cossec(a)$

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas que precisamos conhecer para este problema são as da secante, cossecante, tangente e cotangente.

• Secante $sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$
• Cossecante $cossec(x)=\frac{1}{sen(x)}$
• Tangente$sec(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$
• Cotangente  $sec(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$

Como você pode ver na lista acima, as funções secante, cossecante tangente e cotangente estão relacionadas com frações de senos e cossenos.

Portanto  podemos substituir cada uma das funções trigonométricas do exercício pela fração correspondente:

Vamos verificar a letra a)

$\dfrac{1/cos(a)\,\,+\,\,sen(a)/cos(a)}{cos(a)+cos(a)/sen(a)}=tg(a)\cdot sec(a)$

Como você pode ver, precisamos apenas resolver uma soma de frações e divisão de frações:

$\dfrac{\frac{1}{cos(a)}\,\,+\,\,\frac{sen(a)}{cos(a)}}{\frac{cos(a)\cdot sen(a)}{sen(a)}+\frac{cos(a)}{sen(a)}}= \dfrac{1+sen(a)}{cos(a)}\cdot\dfrac{sen(a)}{cos(a)\cdot(1+sen(a))}$

Repare que o lado direito da igualdade já é tg(a).sec(a).

Só precisamos cancelar a soma (1+sen(a)) que aparece repetida no numerador e no denominador:

$\dfrac{1+sen(a)}{cos(a)}\cdot\dfrac{sen(a)}{cos(a)\cdot(1+sen(a))}=</p><p>\dfrac{1}{cos(a)}\cdot\dfrac{sen(a)}{cos(a)} = sec(a)\cdot tg(a)$

Fica provada a igualdade.

Vamos verificar a letra b)

$\dfrac{tg(a)+cotg(a)}{sec(a)}=\dfrac{\frac{sen(a)}{cos(a)}+\frac{cos(a)}{sen(a)}}{\frac{1}{cos(a)}}=cossec(a)$

Podemos efetuar a divisão de fração para "passar para cima" o cos(a)

$\dfrac{tg(a)+cotg(a)}{sec(a)}=\left(\frac{sen(a)}{cos(a)}+\frac{cos(a)}{sen(a)} \right)\cdot cos(a)$

Agora fazemos a soma de fração. Lembre que precisamos ter o mesmo denominador para poder somare para ter isso, precisamos usar frações equivalentes.

Neste caso multiplicamos por sen(a)/sen(a) ou cos(a)/cos(a)

$\dfrac{tg(a)+cotg(a)}{sec(a)}=\left(\frac{sen^2(a)}{sen(a)cos(a)}+\frac{cos^2(a)}{sen(a)cos(a)} \right)\cdot cos(a)\\\\\\\dfrac{tg(a)+cotg(a)}{sec(a)}=\dfrac{sen^2(a)+cos^2(a)}{sen(a)cos(a)}\cdot cos(a)$

Como sen²(a) + cos²(a) = 1 e como 1/sen(a) = cossec, fica provada a segunda igualdade.

Para mais exercícios de trigonometria, veja:

https://brainly.com.br/tarefa/24038230

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