Question

ajuda!!! Para a construção de uma escultura que ficará na frente de um prédio, um arquiteto fez o seguinte modelo, composto por um cubo de aresta b. Em cada vértice desse cubo maior, será fixado um cubo menor de aresta a.
A expressão que fornece o volume de toda a estrutura é:
A. (b + a) (b2 – 4ab + 4a2)
B. (b + a) (b2 + 4ab + 4a2)
C. (b + 2a)3
D. (b + 2a) (b2 – 2ab + 4a2)
E. (b + 2a) (b2 + 2ab + 4a2)

Answer 1

A expressão que fornece o volume de toda a estrutura é: D) (b + 2a) (b2 – 2ab + 4a2).

O volume de um cubo pode ser calculado através da longitude de uma de suas aristas, e consiste basicamente em encontrar a área da base e multiplicá-la pela altura (comprimento * profundidade * altura), logo como o comprimento, a profundidade e a altura de um cubo são iguais, podemos reduzir o processo elevando qualquer uma dessas medidas ao cubo (3):4

$\boxed{V_{c} = S^{3}}$

Então, neste caso temos um cubo de aresta b, e em cada vértice desse cubo maior, será fixado um cubo menor de aresta a, por tanto o volume total da escultura, corresponde à soma do volume do cubo maior com o volume de cada cubo menor (1 por cada vértice, são 8 no total) e matemáticamente isso é:

$\boxed{V_{tc} = V_{cm} + 8 V_{cm}}$

Logo a calculando eles partir de suas aristas temos:

$\boxed{V_{tc} = b^{3} + 8a^{3}} = \boxed{V_{tc} = (b + 8a)^{3}}$

Como resultado temos um cubo do binômio, que podemos representar de uma forma mais simples, sabendo que:

$\boxed{(a + b)^{3} = a^{3}\;+\;3a^{2}b\;+\;3ab^{3}\;+\;b^{3}}\; ou\; \boxed{(a + b)^{3} =(a+b)*(a^{2}\;-\;ab\;+\;b^{2})}$

Então aplicamos o cubo do binômio neste caso para fatorar a expressão:

$\boxed{(b\;+\;8a)^{3} = (b\;+\;2a)*(b^{2}\;-\;2ab\;+ \;4a^{2})}$

E podemos comprovar a expressão resolvendo ela:

$(b\;+\;2a)*(b^{2}\;-\;2ab\;+ \;4a^{2}\\\\b*b^{2}-b*(-2ab)+4a^{2}*b+2a*b^{2}-2a*2a*b+2a*4a^{2}\\\\b^{3} - 2ab^{2}+4a^{2}b+2ab^{2}-4a^{2}b+8a^{3}\\\\b^{3} + 8a^{3} = (b\;+\;8a)^{3}$