Question

Ajuda!!!
Não consegui fazer esta questão, alguém pode dar uma ajuda?
"Me" não seria igual a "Md"? Se for assim, seria a letra B. Mas no gabarito é C.

Answer 1

Os braços da balança são diferentes. Como o travessão fica horizontalizado quando está vazia, temos uma resultante nula entre os torques. Sendo dd e de o tamanho dos braços direito e esquerdo e pd e pe a massa dos pratos direito e esquerdo, temos:

dd.pd = de.pe

Sendo M a massa do corpo, temos as seguintes relações de torque nulo:

1) dd.(pd + M) = de.(pe + Me)
dd.pd + M.dd = de.pe + de.Me
dd/de = Me/M (i)

2) dd.(pd + Md) = de.(pe + M)
dd.pd + Md.dd = de.pe + de.M
dd/de = M/Md (ii)

Igualando (i) e (ii):
Me/M = M/Md
M = raiz de (Md.Me)

Alternativa C.

Answer 2

     A questão informa que os braços da balança não possuem necessariamente o mesmo comprimento, portanto devemos considerá-los com tamanhos diferentes.O Equilíbrio é possível se a soma dos torques for zero, ou seja, temos que considerar também que a massa dos pratos são diferentes.
     Vou usar o índice "e" para o lado esquerdo e o índice "d" para o lado direito, além de letras minúsculas para as massas dos pratos. O corpo que será adicionado para haver equilíbrio quando as massas forem adicionadas será chamado de M.
     No equilíbrio, temos:

$T_{1}+T_{2}=0 \\ m_{e}*d_{e}-m_{d}*d_{d}=0$
 
     Quando adicionado M no prato esquedo, vem que:

$(M+m_{e})*d_{e}=(m_{d}+M_{d})*d_{d} \\ M*d_{e}+m_{e}*d_{e}=m_{d}*d_{d}+M_{d}*d_{d} \\ M*d_{e}+ (m_{e}*d_{e}-m_{d}*d_{d})=M_{d}*d_{d} \\ d_{e}= \frac{M_{d}*d_{d}}{M} ~(I)$
 
     Repetindo o processo para o prato direito, obtemos:

$(M_{e}+m_{e})*d_{e}=(m_{d}+M)*d_{d} \\ M_{e}*d_{e}+m_{e}*d_{e}=m_{d}*d_{d}+M*d_{d} \\ M_{e}*d_{e}+ (m_{e}*d_{e}-m_{d}*d_{d})=M*d_{d} \\ M= \frac{M_{e}*d_{e}}{d_{d}} ~ (II)$
 
     Juntando (I) e (II):

$M= \frac{M_{e}*d_{e}}{d_{d}} \\ M= \frac{M_{e}*\frac{M_{d}*d_{d}}{M}}{d_{d}} \\ M= \frac{M_{e}*M_{d}*d_{d}}{M*d_{d}} \\ M^2=M_{e}*M_{d} \\ \boxed {M= \sqrt{M_{e}*M_{d}} }$

Letra C