Question

Ajuda na pergunta do livro de matemática!!!! 1- A quantidade de água de um reservatório dobra a cada minuto.Depois de 8 minutos,o reservatório esta cheio. Depois de quantos minutos o reservatório esta com água pela metade?Explique como chegou na resposta e determine uma função que relaciona a quantidade "Q" de água desse reservatório com o tempo t (em minutos).

Answer 1

Seja $x$ o tamanho do reservatório, $a_n$ a quantidade de água no $n-$ésimo dia e $a_1$ a quantidade de água no primeiro dia.

Observe que o crescimento da quantidade de água é tal que

$\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dots=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=2$,

ou seja, as quantidades de água no reservatório formam uma $\text{PG}$.

Temos que:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}~~\Rightarrow~~a_8=a_1\cdot q^{8-1}$

$x=a_1\cdot 2^{7}~~\Rightarrow~~a_1=\dfrac{x}{2^{19}}$

Desejamos determinar em qual dia a quantidade de água ocupará metade do reservatório, isto é,

o valor de $n$, tal que, $a_n=\dfrac{x}{2}$.

Temos que, $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Tomamos $a_n=\dfrac{x}{2}$, $a_1=\dfrac{x}{2^7}$ e
$q=2$.

Assim:

$\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{2^7}\cdot2^{n-1}~~\Rightarrow~~2^{n-1}=\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2^7}{x}$

$2^{n-1}=2^{6}~~\Rightarrow~~n-1=6$

$n=7$

Logo, chegamos à conclusão de que, ao final de $7$ dias a quantidade de água  corresponderá à metade da capacidade do reservatório.

A função procurada é:

$Q=a_1\cdot 2^{t}$

Sendo $a_1$ a quantidade inicial de água no reservatório.