Question

Ajuda na 13, 14, 15

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dica: Se o exercício pede para calcular algo da forma ${(a+bi)}^n$, tente fazer colocando o número complexo em sua forma polar.

(15) Lembre-se que $z=|z|\cdot [\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)}]$ , ou se preferir, $z=|z|\cdot e^{i\theta}$.

Logo, $z^{10}=|z|^{10}\cdot {(e^{i\theta})}^{10}=|z|^{10}\cdot e^{i\cdot 10\cdot \theta}$

Sabemos que o ângulo de $1+i$ com o eixo horizontal é $\frac{\pi}{4}$ (ou $45$ graus). Sabemos também que $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Logo,

${(1+i)}^{10}={(\sqrt{2})}^{10}\cdot e^{i\cdot 10\cdot\frac{\pi}{4}}={(\sqrt{2})}^{10}\cdot e^{i\cdot\frac{5\pi}{2}}$

Temos ${(\sqrt{2})}^{10}={(\sqrt{2})}^{2\cdot 5}={({(\sqrt{2})}^2)}^5=2^5=32$. Logo,

${(1+i)}^{10}=32\cdot \bigg[\cos{\bigg(\dfrac{5\pi}{2}\bigg)}+i\sin{\bigg(\dfrac{5\pi}{2}\bigg)}\bigg]$

Sabemos que $\frac{5\pi}{2}=\frac{4\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}$. Ou seja, esse ângulo equivale ao ângulo $\frac{\pi}{2}$, porque é 1 volta + $\frac{\pi}{2}$. Isso quer dizer que o seno e cosseno desse ângulo são os mesmos do ângulo $\frac{\pi}{2}$, sacou?

Sabendo que $\cos{(\frac{\pi}{2})}=0$ e que $\sin{(\frac{\pi}{2})}=1$, temos a resposta:

${(1+i)}^{10}=32\cdot [0+i\cdot 1]=32\cdot 1i=32i$

(14) Perceba que $i^0=1$ , $i^1=i$ , $i^2= - 1$ , $i^3=i^2\cdot i = - i$ e que $i^4=i^2\cdot i^2=+1$. Então $i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i$. Percebeu que há um ciclo que se repete? De quatro em quatro, a potência $i^n$ vai se repetindo.

$i^{125}=i\cdot i^{124}=i\cdot i^{4\cdot 31}=i\cdot {(i^4)}^{31}\\\\i\cdot 1^{31}=i$

Logo, temos

$\dfrac{i^{125}}{{(1 - i)}^2}=\dfrac{i}{{(1 - i)}^2}$

Agora estou sem tempo, então calcule (1-i)², coloque a fração como $a+bi$, e tente encontrar os valores de a e b.