Question

AJUDA! >>> Equações diferenciais:

Answer 1

1. Se $y(x) = 3\sin(2x) + \textrm{e}^{-x}$, então temos a derivada:

$y'(x) = (2x)' \times 3\cos(2x) + (-x)'\times\textrm{e}^{-x} = 6\cos(2x) - \textrm{e}^{-x}.$

A segunda derivada é então:

$y''(x) = (2x)' \times [-6\sin(2x)] - (-x)'\times\textrm{e}^{-x} = -12\sin(2x) + \textrm{e}^{-x}.$

Assim, substituindo no lado esquerdo da equação diferencial, temos:

$y'' + 3y = -12\sin(2x) + \textrm{e}^{-x} + 4[3\sin(2x) + \textrm{e}^{-x}] =\\\\= -12\sin(2x) + \textrm{e}^{-x} + 12\sin(2x) + 4\textrm{e}^{-x} = 5\textrm{e}^{-x}.$

A função apresentada verifica a equação, pelo que é uma solução.

2. Tal como indicado, as equações são separáveis, pelo que basta separar os diferenciais e integrar:

a) Tem-se:

$\textrm{d}x + \dfrac{\textrm{d}y}{y^4} = 0 \iff \dfrac{\textrm{d}y}{y^4} = -\textrm{d}x \iff \displaystyle\int y^{-4}\textrm{ d}y = -\int\textrm{d}x \iff\\\\\iff \dfrac{y^{-3}}{-3} = -x + C \iff \dfrac{1}{y^3} = 3x - 3C \iff y(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{3x + K}}.$

onde $K = -3C$, com $C \in \mathbb{R}$, é a constante de integração

b) Tem-se:

$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t} = \dfrac{x}{t} \iff \dfrac{\textrm{d}x}{x} = \dfrac{\textrm{d}t}{t} \iff \displaystyle\int\dfrac{\textrm{d}x}{x} = \int\dfrac{\textrm{d}t}{t} \iff \log |x| = \log |t| + C \iff \\\\\iff |x| = \textrm{e}^{\log|t| + C} \iff |x| = \textrm{e}^C|t| \iff x = \pm \textrm{e}^C t \iff x(t) = Kt,$

onde $K = \pm \textrm{e}^C$, com $C \in \mathbb{R}$, é a constante de integração.

c) Tem-se:

$\sin x \textrm{ d}x + y \textrm{ d}y = 0 \iff y \textrm{ d}y = -\sin x \textrm{ d}x \iff \displaystyle\int y\textrm{ d}y = - \int \sin x \textrm{ d}x \iff \\\\\iff \dfrac{y^2}{2} = -(-\cos x) + C \iff y^2 = 2\cos x + 2C \iff y(x) = \pm \sqrt{2\cos x + K},$

onde $K = 2C$, com $C \in \mathbb{R}$, é a constante de integração. Verificamos agora a condição inicial $y(0) = -2$. Como $\sqrt{2\cos x + K} \geq 0,\, \forall x \in \mathbb{R}$ e a condição inicial é negativa, temos de tomar o sinal $-$ antes da raiz. Para determinar $K$, fazemos:

$y(0) = -2 \iff -\sqrt{2\cos 0 + K} = -2 \iff \sqrt{2 + K} = 2 \iff \\\\\iff 2 + K = 2^2 \iff K = 4 - 2 = 2.$

Assim, a solução é:

$y(x) = -\sqrt{2\cos x + 2} = -\sqrt{2(\cos x + 1)}.$

3. Esta equação é também separável. De facto, temos:

$y' + x^2y = x^2 \iff \dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x} = x^2(1 -y) \iff \dfrac{\textrm{d}y}{1-y} = x^2\textrm{ d}x \iff\\\\\iff \displaystyle \int \dfrac{\textrm{d}y}{1-y} = \int x^2\textrm{ d}x \iff -\log|1-y| = \dfrac{x^3}{3} + C}\iff\\\\\iff |1-y| = \textrm{e}^{-x^3/3+C} \iff 1-y = \pm\textrm{e}^C\textrm{e}^{-x^3/3} \iff\\\\\iff y = 1 \mp\textrm{e}^C\textrm{e}^{-x^3/3} \iff y(x) = 1 + K\textrm{e}^{-x^3/3},$

onde $K = \mp \textrm{e}^C$, com $C \in \mathbb{R}$, é a constante de integração.