Question

Ajuda galera, porfavor. :)

Os valores reais de x que satisfazem a inequação $\frac{(2 - x) (x + 1)}{x - 1} \leq 0$

a) x $\leq$ -1 ou $\geq$ 2
b) 0 < x < 1 ou x $\geq$ 2
c) - 1 $\leq$ x < 1 ou x $\geq$ 2
d) x $\leq$ -1 ou 1 < x $\leq$ 2
e) -1 $\leq$ x < 2 e x $\neq$ 1

Answer 1

$\dfrac{\left(2-x \right )\left(x+1)}{x-1} \leq 0$


Queremos resolver uma equação do tipo

$\dfrac{f\left(x \right )\cdot g\left(x)}{h\left(x \right )} \leq 0$

onde

$f\left(x \right )=2-x,\;\;\;g\left(x\right)=x+1,\;\;\;h\left(x \right )=x-1$


Para isso, vamos analisar o sinal de cada função:

a) $f\left(x \right )=2-x$

Temos que

$\left\{ \begin{array}{c} f\left(x \right ) > 0,\text{ se }x< 2\\ \\ f\left(x \right) \leq 0,\text{ se }x \geq 2 \end{array} \right.$


Representando na reta real, temos

$+++++++++\underset{2}{\bullet}---------$


b) $g\left(x \right )=x+1$

Temos que

$\left\{ \begin{array}{c} g\left(x \right ) < 0,\text{ se }x< -1\\ \\ g\left(x \right) \geq 0,\text{ se }x \geq -1 \end{array} \right.$


Representando na reta real, temos

$---------\underset{-1}{\bullet}+++++++++$


c) $h\left(x \right )=x-1$

$\left\{ \begin{array}{c} h\left(x \right ) < 0,\text{ se }x< 1\\ \\ h\left(x \right) > 0,\text{ se }x > 1 \end{array} \right.$

(note que $h\left(x\right)$ não pode ser igual a zero pois é o denominador)


Representado na reta real, temos

$---------\underset{1}{\circ}+++++++++$


Combinando as três funções, e analisando o sinal das três simultanteamente, temos

$+++\underset{-1}{\bullet}++++++\underset{1}{\circ}+++\underset{2}{\bullet}-----\;\;\;\;f\left(x \right )\\ \\ ---\underset{-1}{\bullet}++++++\underset{1}{\circ}+++\underset{2}{\bullet}+++++\;\;\;\;g\left(x \right )\\ \\ ---\underset{-1}{\bullet}------\underset{1}{\circ}+++\underset{2}{\bullet}+++++\;\;\;\;h\left(x \right )\\ \\ \\ +++\underset{-1}{\bullet}------\underset{1}{\circ}+++\underset{2}{\bullet}-----\;\;\;\;\dfrac{f\left(x \right )\cdot g\left(x \right )}{h\left(x \right )}$


Verificando o sinal da função $\dfrac{f\left(x \right )\cdot g\left(x)}{h\left(x \right )}$, temos que ela é não-positiva apenas quando

$-1\leq x <1\text{ ou }x\geq 2$


Resposta: alternativa $\text{c) }-1\leq x <1\text{ ou }x\geq 2$.