Question

Ajuda Galera! integral tripla pra encontrar o volume do solido. Valeu!

Answer 1

O sólido $D$ em questão pode ser descrito como

$D=\{(x,\;y,\;z)\in\mathbb{R}^{3}\left|\;-2\leq x\leq 2;\;x^{2}\leq y\leq 4;\;0\leq z\leq 4-y\right.\}$


O volume do sólido é dado por

$\text{Volume}(D)=\displaystyle\iiint\limits_{D}{1\,d\mathbf{V}}\\ \\ \\ =\int\limits_{-2\;}^{2}\int\limits_{\;x^ {2}}^{4}\int\limits_{0}^{\;4-y}{1\,dz\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int \limits_{-2\;}^{2}\int\limits_{\;x^{2}}^{4}{z|_{0}^{4-y}\,dy \,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-2\;}^{2}\int\limits_{\;x^{2}}^{4} {(4-y)\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-2\;}^{2}{\left.\left(4y- \frac{y^{2}}{2}\right)\right|_{x^{2}}^{4}\,dx}\\ \\ \\ =\int \limits_{-2\;}^{2}{\left[\left(4\cdot 4-\frac{4^{2}}{2}\right)- \left(4\cdot (x^{2})-\frac{(x^{2})^{2}}{2}\right) \right ]dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{-2\;}^{2}{\left[\left(16-8\right)-\left(4x^ {2}-\frac{x^{4}}{2}\right) \right ]dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{- 2\;}^{2}{\left(8-4x^{2}+\frac{x^{4}}{2} \right )dx}$


Como a função a ser integrada em $x$ é uma função par, integrada sobre um intervalo simétrico, podemos reescrever a integral acima como

$=2\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{\left(8-4x^{2}+\frac{x^{4}}{2} \right )dx}\\ \\ \\ =2\cdot \left.\left(8x-\frac{4x^ {3}}{3}+\frac{x^{5}}{10} \right )\right|_{0}^{2}\\ \\ \\ =2\cdot \left(8\cdot 2-\frac{4\cdot 2^{3}}{3}+\frac{2^{5}}{10} \right )\\ \\ \\ =2\cdot \left(16-\frac{32}{3}+\frac{32}{10} \right )\\ \\ \\ =2\cdot \left(\frac{480}{30}-\frac{320}{30}+\frac{96}{30} \right )\\ \\ \\ =2\cdot \dfrac{256}{30}\\ \\ \\ =\dfrac{256} {15}\text{ u.v.}$