Question

Ajuda em Polinômios!! Uma das raízes da equação x^4 - 5x^3 + 15x^2 - 5x - 26 = 0 é z = 2 + 3i.?

Determina as outras raízes da equação. Não consegui achar na internet. Obrigado desde já. ;)

Answer 1

Uma das raízes do polinômio

$\mathtt{P(x)=x^4-5x^3+15x^2-5x-26}$

é $\mathtt{z_1=2+3i}.$


O conjugado de $\mathtt{z_1}$ também será uma raiz para $\mathtt{P(x):}$

$\mathtt{z_2=z_1^*}\\\\ \mathtt{z_2=(2+3i)^*}\\\\ \mathtt{z_2=2-3i}$


Então, $\mathtt{P(x)}$ é divisível por

$\mathtt{A(x)=(x-z_1)(x-z_2)}\\\\ =\mathtt{x^2-z_1 x-z_2 x+z_1 z_2}\\\\ =\mathtt{x^2-(z_1+z_2)x+z_1 z_2}\\\\ =\mathtt{x^2-(z_1+z_1^{*})x+z_1z_1^*}\\\\ =\mathtt{x^2-2\cdot Re(z_1)x+|z_1|^2}\\\\ =\mathtt{x^2-2\cdot 2x+(2^2+3^2)}\\\\ =\mathtt{x^2-4x+(4+9)}\\\\ =\mathtt{x^2-4x+13}$


Fazendo a divisão polinomial de $\mathtt{P(x)}$ por $\mathtt{A(x)}:$


     x⁴ – 5x³ + 15x² – 5x – 26                | x² – 4x + 13               
 – x⁴ + 4x³ – 13x²                                    x² – x – 2
          – x³  +   2x² –   5x
         – x³    –  4x² + 13x
                   – 2x²    +  8x – 26
                      2x²     – 8x + 26
                                             0


Sendo assim, temos que

$\mathtt{P(x)=A(x)\cdot (x^2-x-2)}\\\\ \mathtt{P(x)=(x^2-4x+13)\cdot (x^2-x-2)}$


Agora, basta encontrarmos as raízes do outro polinômio do 2º grau que encontramos como quociente da divisão:

$\mathtt{x^2-x-2=0}$


Some e subtraia $\mathtt{x}$ ao lado esquerdo:

$\mathtt{x^2+x-x-x-2=0}\\\\ \mathtt{x^2+x-2x-2=0}\\\\ \mathtt{x(x+1)-2(x+1)=0}\\\\ \mathtt{(x+1)(x-2)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathtt{x+1=0}&\texttt{ ou }&\mathtt{x-2=0}\\\\ \mathtt{x=-1}&\texttt{ ou }&\mathtt{x=2} \end{array}$

_______

Sendo assim, as outras raízes são

$\mathtt{x=2-3i}\\\\ \mathtt{x=-1}\\\\ \mathtt{x=2}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)