Question

AJUDA EM DERIVADAS POR FAVOR

Calcule a primeira e a segunda derivada de y=ln (x³+3x)

Answer 1

Resposta:

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{2 } + 3 }{x {}^{3} + 3x)} \: \: \: e \: \: \: \frac{d {}^{2}y }{d {}^{} x^{2}} = \frac{ - 3x {}^{4} - 9 }{(x {}^{3} + 3x) {}^{2} }$

Temos a seguinte função:

$y = \ln(x {}^{3} + 3x)$

A questão pede para encontrar a derivada primeira e a segunda dessa mesma função. Primeiro vamos lembrar que a derivada de uma função logaritma composta segue o exemplo:

$y = \ln ( x {}^{2} ) \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x {}^{2} } . (2x)\longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x {}^{2} } \longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}$

Partindo desse exemplo, vamos calcular a derivada dessa função logarítmica composta, para realizar esse cálculo devemos usar a regra da cadeia, pois trata-se de uma função dentro de outra. A regra da cadeia diz:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}. \frac{du}{dx}$

Chamaremos a função x³ + 3x de "u" e y = ln(u), então:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \ln (u). \frac{d}{dx} (x {}^{3} + 3x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} .(3x {}^{2} + 3) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3x {}^{2} + 3 }{x {}^{3} + 3 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos derivar dessa derivada, ou seja, encontrar a derivada segunda. Para realizar esse cálculo usaremos a regra do quociente, já que temos uma função no numerador e no denominador:

$\frac{d}{dx}[f(x)/g(x)] = \frac{ \frac{d}{dx}f(x).g(x) - f(x). \frac{d}{dx} g(x) }{ [g(x)] {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}[3x {}^{2} + 3/x {}^{3} + 3x] = \frac{ \frac{d}{dx} (3x {}^{2} + 3).(x {}^{3} + 3x) - (3 {x}^{2} + 3). \frac{d}{dx}(x {}^{3} + 3x) }{(x {}^{3} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}[3x {}^{2} + 3/x {}^{3} + 3] = \frac{6x .(x {}^{3} + 3x) - (3x {}^{2} + 3) .(3x {}^{2} + 3)}{ ( {x}^{3} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}[3x {}^{2} + 3/x {}^{3} + 3] = \frac{6x {}^{4} + 18 {x}^{2} -( 9x {}^{4} + 18x {}^{2} + 9)}{(x {}^{3} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}[3x {}^{2} + 3/x {}^{3} + 3] = \frac{6x {}^{4} + 18x {}^{2} - 9x {}^{4} - 18x {}^{2} - 9 }{(x {}^{3} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}[3x {}^{2} + 3/x {}^{3} + 3] = \frac{ - 3x {}^{4} - 9 }{(x {}^{3} + 3x) {}^{2} }$

Espero ter ajudado