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Determine o valor máximo ou mínimo das funções definidas por:
a)f(x) = x² - 64
b)f(x) = -4x² + 4x - 1
c)f(x) = -x² + 3x
d)f(x) = x² - x - 6
e)f(x) = -x² + 5x - 7
f) f(x) = 2x² + 5x
Soluções para a tarefa
a) f(x)=x²-64
f'(x)=2x
f'(x)=0
2x=0
x=0 f(0)=-64
pmín(0,-64)
Para encontrar o valor máximo ou mínimo de funções, utilizamos os testes de derivada para encontrar os pontos críticos e em seguida definir se são máximos ou mínimos.
Particularmente, em funções de segundo grau, sabemos que a concavidade da parábola é definida pelo sinal do coeficiente a, logo, se a é negativo, temos que o ponto crítico será máximo e caso a seja positivo, o ponto crítico será mínimo.
a) f(x) = x² - 64 (a > 0)
f'(x) = 0 → 2x = 0 → x = 0
f(0) = 0² - 64 = -64 (ponto de mínimo)
b) f(x) = -4x² + 4x - 1 (a < 0)
f'(x) = 0 → -8x + 4 = 0 → x = 0,5
f(1/2) = -4.0,5² + 4.0,5 - 1 = 0 (ponto de máximo)
c) f(x) = -x² + 3x(a < 0)
f'(x) = 0 → -2x + 3 = 0 → x = 1,5
f(0) = -1,5² + 3.1,5 = 2,25 (ponto de máximo)
d) f(x) = x² - x - 6 (a > 0)
f'(x) = 0 → 2x - 1= 0 → x = 0,5
f(0) = 0,5² - 0,5 - 6= -6,75 (ponto de mínimo)
e) f(x) = -x² + 5x - 7 (a < 0)
f'(x) = 0 → -2x + 5 = 0 → x = 2,5
f(0) = -2,5² + 5.2,5 - 7 = -0,75 (ponto de máximo)
f) f(x) = 2x² + 5x (a > 0)
f'(x) = 0 → 4x + 5 = 0 → x = -1,25
f(0) = 2.(-1,25)² + 5.(-1,25) = -3,125 (ponto de mínimo)
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