Question

Ajuda - Combinação Linear

Utilizando os vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1 ) no IR3

1) Escreva o vetor V=(-4,-18,7) como combinação linear dos vetores v1 e v2.

2)Mostrar que o vetor V=(4,3,-6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2.

3)Determinar o valor de k para que o vetor U=(-1,k,-7)
seja combinação linear de v1 e v2 .

Answer 1

Primeiramente, escrever um vetor como combinação linear de outros dois implica em somar múltiplos desses dois vetores de modo a formar um novo vetor. Simplificando:

v = a(v1) + b(v2) onde "a" e "b" são números reais. Temos, portanto, como tarefa, descobri-los. 

(-4,-18,7) = a(1,-3,2) + b(2,4,-1)

Então, podemos separar as componentes x,y e z e teremos:

-4 = 1a + 2b 
-18 = -3a + 4b
7 = 2a - 1b

Temos agora três sistemas lineares, e precisamos achar os valores das incógnitas a e b. Podemos então multiplicar a 1° equação por -2, para resolver mais facilmente usando a 3° equação. E teremos:

8 = -2a - 4b

7 = 2a - b 

Podemos então somar as duas, e veremos que o termo "a" vai sumir. Então teremos: 

15 = -5b
b = -3. 

Podemos substituir o b na 1° ou 3° equação para encontrarmos o "a":

7 = 2a - b 
7 = 2a -(-3)
7 = 2a + 3
4 = 2a
a = 2 

Podemos conferir agora na 2° equação os valores de a e b. 

-18 = -3(2) + 4(-3)
-18 = -18
Então, o sistema tem solução e são a = 2 e b= -3. Então, escrevendo como combinação linear de v1 e v2 teremos:

V = 2v1 - 3v2.