Question

AJUDA COM SÉRIES

Suponha que a sequência $\sum x_n$ (x_n) é uma série de termos positivos que converge. Mostre que $\sum\frac{1}{x_n}$ é divergente.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, se a série $\sum x_n$  é convergente, então, podemos afirmar que: (x_n) converge a zero.

De fato, consideremos

$S_n:=x_1+x_2+x_3+....+x_n$

Agora, sendo Sn = S_{n−1 }+ x_n e sabemos que o limite existe quando a série é convergente.

Passando o limite em ambos os lados da equação, com n tendendo ao infinito.

$\lim S_n = \lim S_{n-1}+\lim x_n$

Portanto,

.$\lim_{n\to\infty}x_n =0$.

Logo,

                            $\lim_{n\to\infty}x_n =0$$\Rightarrow$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}$ é divergente