Ajuda com polinômios
Dividindo-se o polinômio -x^3 - 4x^2 + 3 por um polinômio p, obtém-se -X-6 como quociente e -12x + 3 como resto. Determine o polinômio p.
Soluções para a tarefa
Resposta:
P (x) = x² - 2 x
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
Dividindo-se o polinômio - x³- 4 x² + 3 por um polinômio P(x), obtém-se
(- x - 6 ) ,como quociente , e (- 12 x + 3 ) como resto.
Determine o polinômio P(x).
Resolução:
Numa divisão temos sempre que :
dividendo = divisor * quociente + resto ( 1 )
Aqui procura-se saber qual o divisor, a que se chamou P(x).
Fazendo como em ( 1 )
- x³ - 4 x² + 3 = P (x) * ( - x - 6 ) + ( - 12 x + 3)
Passemos - 12 x + 3 para o 1º membro, trocando os sinais
- x³ - 4 x² + 3 + 12 x - 3 = P (x) * ( - x - 6 )
Ao reduzir os termos semelhantes no 1º membro , o 3 cancela-se com -3
-x³ - 4 x² + 12 x = P(x) * ( - x - 6 )
Trocar os membros
⇔
P(x) * ( - x - 6 ) = - x³ - 4 x² + 12 x
Aplicar propriedade comutativa da multiplicação no 1º membro
⇔
(- x - 6 ) * P(x) = - x³ - 4 x² + 12 x
Nota 1 : O passo seguinte é fácil de perceber se nos lembrarmos como
se resolve uma equação do 1º grau, na parte final da resolução.
Exemplo:
Se tivesse que resolver a parte final da equação
7 x = 3
o passo seguinte seria dividir ambos os membros por 7 ;
ou seja dividir tudo pelo coeficiente ( neste caso “7”) de x
(7x) / 7 = 3 / 7 ⇔ x = 3 / 7
Neste caso temos que a incógnita, o que não se sabe, é P(x) e o seu
coeficiente é (- x - 6 ) .
Façamos de maneira idêntica:
[(- x - 6 ) * P(x) ] / (- x - 6 ) = ( - x³ - 4 x² + 12 x ) / ( - x - 6 )
Nota 2 : esta divisão só é possível quando - x - 6 ≠ 0
pois não se pode dividir algo por zero. Fica impossível.
Tem que se indicar esta restrição, senão fica incompleta a resolução.
⇔
P(x) = ( - x³ - 4 x² + 12 x ) / ( - x – 6 ) ∧ - x - 6 ≠ 0
Fazemos agora a conta de dividir que está no 2º membro da equação.
- x³ - 4 x² + 12 x | - x – 6
+ x³ + 6 x² x² - 2 x ← P(x)
0 2 x² + 12 x
- 2 x² - 12 x
0 + 0
Sabíamos :
o dividendo = - x³ - 4 x² + 3
o quociente = - x - 6
o resto = - 12 x + 3
Faltava o divisor.
Está pois encontrado o polinómio P(x) = x² - 2 x que é o divisor.
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a ( ∧ ) e
( ≠ ) diferente de
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.