Question

ajuda com esse calculo ?

Answer 1

Determinar a equação polar da circunferência $x^{2}+(y-3)^{2}=9.$

No plano cartesiano, esta é a equação de uma circunferência com centro no ponto $(0,\;3)$ e raio $r=3.$
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A representação em coordenadas polares desta circunferência vai depender de como é definida a transformação. Observe:

$\bullet~~$ Transformação 1. Fazendo translação da origem do sistema para o centro $(0,\;3)$ da circunferência:

$\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\\\ y=3+r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \right.$


Como houve translação de origem, no novo sistema de coordenadas, existem pontos da circunferência nos quatro quadrantes.

Logo, $0\leq \theta\leq 2\pi.$


Substituindo na equação cartesiana, obtemos

$(r\cos \theta)^{2}+[(3+r\,\mathrm{sen\,}\theta)-3]^{2}=9\\\\ r^{2}\cos^{2} \theta+r^{2}\,\mathrm{sen^{2}\,}\theta=9\\\\ r^{2}\cdot \left(\cos^{2} \theta+\mathrm{sen^{2}\,}\theta \right )=9\\\\ r^{2}=9\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r=3 \end{array}}$

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$\bullet~~$ Transformação 2. Sem translação da origem do sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos \theta\\\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \right.$


Com a origem intacta, temos pontos da circunferência apenas no 1º e 2º quadrantes.

Portanto, $0\leq \theta\leq \pi.$


Substituindo na equação cartesiana, obtemos

$(r\cos \theta)^{2}+(r\,\mathrm{sen\,}\theta-3)^{2}=9\\\\ r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\,\mathrm{sen^{2}\,}\theta-6r\,\mathrm{sen\,}\theta+9=9\\\\ r^{2}\,(\cos^{2}\theta+\mathrm{sen^{2}\,}\theta)-6r\,\mathrm{sen\,}\theta=0\\\\ r^{2}-6r\,\mathrm{sen\,}\theta=0\\\\ r-6\,\mathrm{sen\,}\theta=0\\\\ \boxed{\begin{array}{c} r=6\,\mathrm{sen\,}\theta \end{array}}$