Matemática, perguntado por CabralGilson, 10 meses atrás

Ajuda com Derivada de Função

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por DuarteME
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Por definição de derivada, temos:

f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Como a função é dada por f(x) = \dfrac{1}{x^2}, o numerador da fração pode ser escrito na forma:

f(x + h) - f(x) = \dfrac{1}{(x+h)^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}.

Aplicamos o caso notável do quadrado do binómio ao termo (x+h)^2:

\dfrac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2xh - h^2}{x^2(x+h)^2}.

A fração pode então ser simplificada para h \neq 0:

\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{1}{h}\times\dfrac{-2xh - h^2}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2x - h}{x^2(x+h)^2}.

Tomamos agora o limite quando h \to 0:

\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{-2x - h}{x^2(x+h)^2} = \dfrac{-2x - 0}{x^2(x+0)^2} = -\dfrac{2x}{x^4} = -\dfrac{2}{x^3},

sendo a simplificação válida porque x \neq 0.

Resposta: \boxed{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' = -\dfrac{2}{x^3}}.

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