Question

Ajuda com calculo de integral

Answer 1

Resposta:

Para resolvermos $\int {e^xsenx} \, dx$ vamos simplesmente integrar por partes duas vezes consecutivas e o problema está resolvido.

∫fg' = fg - ∫f'g

$f = senx\\f' = cosx$  $g' = e^x\\g = e^x$

$\int {e^xsenx} \, dx = e^xsenx - \int {e^xcosx} \, dx$

Integrando por partes mais uma vez:

$f = cosx\\f' = -senx$  $g' = e^x\\g = e^x$

$= e^x senx - (e^xcosx - \int {-e^xsenx} \, dx )$

$= e^x senx - (e^xcosx + \int {e^xsenx} \, dx )$

Note que a nova integral que apareceu é a integral que tinhamos no início, agora é só resolver:

$= \frac{e^xsenx - e^xcosx}{2} + C$

Como $e^x$ multiplica os termos do numerador podemos simplificar fatorando-o:

$= \frac{e^x(senx - cos)}{2} + C$

Resolvido:

$\int {e^xsenx} \, dx = = \frac{e^x(senx - cos)}{2} + C$