Question

AJUDA

Classifique cada sistema abaixo (na imagem) em SPD,
SPI ou SI e, em seguida, resolva-os.

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Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrado pela substituição das variáveis por valores.

Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).

Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).

Sabendo disso, vamos começar os cálculos:

$a) \: \begin{pmatrix} x - y + 3z \\2x + 3y + 2z \\ x - 2y + z\end{pmatrix} = \left(\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \\ - 7\end{array} \right)$

Tal sistema pode ser escrito da seguinte forma:

$\begin{pmatrix}1& - 1&3\\ 2&3&2 \\ 1& - 2&1 \end{pmatrix}. \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - 2 \\ 7 \\ - 7\end{array} \right)$

Vamos calcular o determinante para saber qual o tipo de sistema é esse.

Det = Diagonal Principal - Diagonal Secundária

$det = 1.( - 1).(2) + 1.3.1 + 2.( - 2).3 - (2.( - 1).1 + 1.3.3 + 1.( - 2).2) \\ \\ det = - 2 + 3 - 12 - ( - 2 + 9 - 4) \\ \\ det = - 11 - (3) \\ \\ det = - 11 - 3 \\ \\ \boxed{det = - 14}$

Como o valor do determinante foi diferente de 0, ele pode ser chamado de SPD (Sistema Possível Determinado)

Agora vamos a pior parte que é calcular o DETERMINANTE de x, y e z.

$det(x) = \begin{pmatrix} -2 & - 1&3\\ 7 &3&2\\ - 7& - 2&1 \end{pmatrix} \\ \\ det(x) = ( -7).( - 1).2 + ( - 2).3.1 + 7. (- 2).3 - (7.( - 1).1 + ( - 7).3.3 + ( - 2).( - 2).2) \\ \\ det(x) = 14 - 6 - 42 - ( - 7 - 63 + 8) \\ \\ det(x) = - 34 - ( -62) \\ \\ det(x) = - 34 + 62\\ \\ \boxed{det(x) = 28}$

Calcular o determinante de y:

$det(y) = \begin{pmatrix}1& - 2&3\\ 2& 7&2\\1& - 7&1 \end{pmatrix} \\ \\ det(y) = (1.( - 2).2 + 1.7.1+ 2.( - 7).3 - (2.( - 2).1 + 1.7.3 + 1.( - 7).2 )\\ \\ det(y) = - 4 + 7 - 42 - ( - 4 + 21 - 14) \\ \\ det(y) = - 39 - (3) \\ \\ det(y) = - 39 - 3 \\ \\ \boxed{det(y) = - 42}$

Sabendo o valor do determinante de x e y, podemos encontrar x e y e substituir em uma das equações para encontrar z.

$x = \frac{dx}{d} \rightarrow x = \frac{28}{ - 14} \rightarrow \boxed{x = - 2 } \\ \\ y = \frac{dy}{d} \rightarrow y = \frac{ - 42}{ - 14} \rightarrow \boxed{y = 3 }$

Substituindo na primeira equação:

$x - y + 3z = - 2 \\ \\ - 2 - 3 + 3z = - 2 \\ \\ - 5 + 3z = - 2 \\ \\ 3z = - 2 + 5 \\ \\ 3z = 3 \\ \\ z = \frac{3}{3} \\ \\ \boxed{z = 1}$

Aleluia achamos um sistema, agora vamos para o próximo.

Seguindo o mesmo passo que o outro.

$\begin{pmatrix} x + 2y + 3z \\ 3x + 2y + 2z \\ x - 6y - 11z \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{c} - 5 \\ 2 \\ 7 \end{array} \right)$

Podendo ser escrito como:

$\begin{pmatrix} 1 &2&3 \\ 3&2&2 \\ 1& - 6& - 11 \end{pmatrix}. \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - 5 \\ 2 \\ 7\end{array} \right)$

Agora vamos calcular o determinante com o intuito de saber qual é o tipo desse sistema.

Det = Diagonal Principal - Diagonal Secundária

$det = 1.2.2 + 1.2.( - 11) + 3.( - 6).3 - (3.2.( - 11) + 1.2.3 + 1.( - 6).2) \\ \\ det = 4 - 22 - 54 - ( - 66 + 6 - 12) \\ \\ det = - 72 - ( - 72) \\ \\ det = - 72 + 72 \\ \\ \boxed{det = 0}$

Como o determinante foi igual a 0, temos que calcular o determinante secundário.

$det2 = \begin{pmatrix} - 5&2&3 \\ 2&2&2 \\ 7& - 6& - 11 \end{pmatrix} \\ \\ det2 = 7.2.2 + ( - 5).2.( - 11) + 2.( - 6).3 - (2.2.( - 11) + 7.2.3 + ( - 5).( - 6).2) \\ \\ det2 = 28 + 110 - 36 - ( - 44 + 42 + 60) \\ \\ det2 = 102 - (58) \\ \\ det2 = 102 - 58 \\ \\ \boxed{det2 = 44}$

Como podemos ver, ele é igual a 0 e diferente de 0, logo é um sistema impossível.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️