⚠️Ajuda??⚠️
Calcule o valor da integral indefinida(primitiva) usando a regra de integração

Soluções para a tarefa
Olá, boa tarde.
Devemos resolver a seguinte integral indefinida:
Para resolvemos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes: consiste em substituírmos um dos fatores do produto pela variável e o diferencial
de acordo com a fórmula:
.
A escolha de segue o critério LIATE: as funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas (potências de
), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem de prioridade.
Escolhemos e
. Diferenciamos a expressão em
e integramos a expressão em
:
Para calcularmos esta derivada e integral, lembre-se que:
- A derivada de uma função
é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia:
.
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência:
.
- A derivada da função seno é igual a função cosseno:
.
- A derivada da função cosseno é o oposto da função seno:
.
- A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
- A integral da função exponencial é igual a própria função exponencial:
.
Calcule a derivada implícita e a derivada da função seno. Calcule a integral de .
Aplique a regra da potência. Faça uma substituição na integral: diferenciamos a expressão em respeito à variável
e substituímos o diferencial
.
Aplique a regra da potência e multiplique os valores
Substituímos o resultado da segunda linha na integral
Aplique a linearidade e calcule a integral da função exponencial
Utilize a fórmula de integração por partes
Aplique novamente a técnica de integração por partes: faça e
.
Calcule a derivada da função cosseno e a integral
Utilizando a fórmula de integração por partes, temos:
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e aplique a linearidade
Observe que podemos substituir na equação, de modo que teremos:
Some em ambos os lados da igualdade
Divida ambos os lados da igualdade por um fator
Este é o resultado desta integral.