Question

⚠️Ajuda??⚠️
Calcule o valor da integral indefinida(primitiva) usando a regra de integração

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle{I=\int e^{2x}\sin(x)\,dx}$

Para resolvemos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes: consiste em substituírmos um dos fatores do produto pela variável $u$ e o diferencial $dv$ de acordo com a fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

A escolha de $u$ segue o critério LIATE: as funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem de prioridade.

Escolhemos $u=\sin(x)$ e $dv=e^{2x}\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(\sin(x))\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}\,dx}$

Para calcularmos esta derivada e integral, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $\dfrac{d}{dx}(\sin(x))=\cos(x)$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $\dfrac{d}{dx}(\cos(x))=-\sin(x)$.
• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{d(F(x))}{dx}\,dx=\int d(F(x))=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função exponencial é igual a própria função exponencial:  $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Calcule a derivada implícita e a derivada da função seno. Calcule a integral de $dv$.

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=\cos(x)\\\\\\ \displaystyle{v=\int e^{2x}\,dx}$

Aplique a regra da potência. Faça uma substituição $t=2x$ na integral: diferenciamos a expressão em respeito à variável $x$ e substituímos o diferencial $dx$.

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=\cos(x)\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(t)=\dfrac{d}{dx}(2x)$

Aplique a regra da potência e multiplique os valores

$\dfrac{du}{dx}=\cos(x)\Rightarrow \boxed{du=\cos(x)\,dx}\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=2\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$

Substituímos o resultado da segunda linha na integral

$\displaystyle{v=\int e^t\cdot \dfrac{dt}{2}}$

Aplique a linearidade e calcule a integral da função exponencial

$\displaystyle{v=\dfrac{1}{2}\cdot \int e^t\,dt}\\\\\\ v=\dfrac{e^t}{2}\Rightarrow \boxed{v=\dfrac{e^{2x}}{2}}$

Utilize a fórmula de integração por partes

$\displaystyle{I=\sin(x)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}}{2}\cdot \cos(x)\,dx}$

Aplique novamente a técnica de integração por partes: faça $u=\cos(x)$ e $dv=\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx$.

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(\cos(x))\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx}$

Calcule a derivada da função cosseno e a integral

$\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)\Rightarrow \boxed{du=-\sin(x)\,dx}\\\\\\\boxed{v=\dfrac{e^{2x}}{4}}$

Utilizando a fórmula de integração por partes, temos:

$\displaystyle{I=\sin(x)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\left(\cos(x)\cdot \dfrac{e^{2x}}{4}-\int \dfrac{e^{2x}}{4}\cdot(-\sin(x)\,dx)\right)}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e aplique a linearidade

$\displaystyle{I=\sin(x)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\cos(x)\cdot \dfrac{e^{2x}}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\int e^{2x}\sin(x)\,dx}$

Observe que podemos substituir $\displaystyle{I=\int e^{2x}\sin(x)\,dx}$ na equação, de modo que teremos:

$I=\sin(x)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\cos(x)\cdot \dfrac{e^{2x}}{4}-\dfrac{I}{4}$

Some $\dfrac{I}{4}$ em ambos os lados da igualdade

$\dfrac{5I}{4}=\sin(x)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\cos(x)\cdot \dfrac{e^{2x}}{4}$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\dfrac{5}{4}$

$\Large{\boxed{I=\dfrac{2\sin(x)\cdot e^{2x}}{5}-\dfrac{\cos(x)\cdot e^{2x}}{5}+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Este é o resultado desta integral.