Question

⚠️Ajuda??⚠️

Calcule o valor da integral indefinida(primitiva) usando a regra da integração

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle{I=\int (x+1)\cdot\cos(2x)\,dx}$

Para resolvemos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes: consiste em substituírmos um dos fatores do produto pela variável $u$ e o diferencial $dv$ de acordo com a fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$.

A escolha de $u$ segue o critério LIATE: as funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem de prioridade.

Escolhemos $u=x+1$ e $dv=\cos(2x)\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(x+1)\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \cos(2x)\,dx}$

Para calcularmos esta derivada e integral, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int \dfrac{d(F(x))}{dx}\,dx=\int d(F(x))=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função cosseno é igual a função seno:  $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral da função seno é igual ao oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$

Calcule a derivada implícita e a integral de $dv$.

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \displaystyle{v=\int \cos(2x)\,dx}$

Aplique a regra da potência. Faça uma substituição $t=2x$ na integral: diferenciamos a expressão em respeito à variável $x$ e substituímos o diferencial $dx$.

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=1\\\\\\ \dfrac{d}{dx}(t)=\dfrac{d}{dx}(2x)$

Aplique a regra da potência e multiplique os valores

$\dfrac{du}{dx}=1\Rightarrow \boxed{du=dx}\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=2\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$

Substituímos o resultado da segunda linha na integral

$\displaystyle{v=\int \cos(t)\cdot \dfrac{dt}{2}}$

Aplique a linearidade e calcule a integral da função exponencial

$\displaystyle{v=\dfrac{1}{2}\cdot \int \cos(t)\,dt}\\\\\\ v=\dfrac{\sin(t)}{2}\Rightarrow \boxed{v=\dfrac{\sin(2x)}{2}}$

Utilize a fórmula de integração por partes

$\displaystyle{I=(x+1)\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2}-\int \dfrac{\sin(2x)}{2}\,dx}$

Aplique a linearidade e calcule a integral da função seno

$\displaystyle{I=(x+1)\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\int \sin(2x)\,dx}\\\\\\ I=(x+1)\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$I=\dfrac{x\cdot\sin(2x)}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{4}$

Adicione a constante de integração $C$

$\Large{\boxed{I=\dfrac{x\cdot\sin(2x)}{2}+\dfrac{\sin(2x)}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{4}+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

                           $\boxed{\int\limits {(x+1)cos(2x)} \, dx = ?}$

• Vamos utilizar o método da substituição.

$u= (x+1)\\\\dv=cos(2x)dx$

                         $\boxed{\int\limits {u.dv.} \,= u.v-\int\limits {v} \, du}$

                                                                                                                                   

Vamos calculas v e du

$\int\limits{} \, dv =\int\limits {cos(2x)} \, dx \\\\v = \int\limits {cos(2x)} \, dx$

$k= 2x\\\\2.dx=dk$

logo:

$v =\int\limits{cos(k)\frac{1}{2} } \, dk\\\\v= \frac{1}{2}.\int\limits{cos(k)} \, dk\\\\v = \frac{1}{2} .sen(k)+C\\\\v=\frac{1}{2} sen(2x)+C$

vamos calcular du :

u= (x+1)

$\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx} (x+1)\\\\\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x)+\frac{d}{dx} (1)\\\\\frac{du}{dx} = 1+0\\\\\frac{du}{dx} = 1$

substitui esses valores na formula.

$\int\limits{(x+1).cos(2x)} \, dx = (x+1).\frac{1}{2} sen(2x)-\int\limits {\frac{1}{2}sen(2x)+C } \, .1=\\\\ (x+1).\frac{1}{2} sen(2x)-\frac{1}{2} .\int\limits {sen(k)} \,\frac{1}{2} dk=(x+1).\frac{1}{2} .sen(2x)-\frac{1}{2} \frac{1}{2} \int\limits {sen(k)} \, dk= \\\\(x+1).\frac{1}{2} .sen(2x-\frac{1}{2} \frac{1}{2} .-cos(k)+C= \\\\(x+1).\frac{1}{2} .sen(2x)+ \frac{1}{4} cos(2x)+C$

Resposta: $(x+1).\frac{1}{2} .sen(2x)+ \frac{1}{4} cos(2x)+C$