Question

Ajuda aí, por favor. Fiquei confuso na parte da hipotenusa. Determine a medida da projeção do cateto de medida 10 cm sobre a hipotenusa do triângulo a seguir.

Answer 1

Resposta:

5 cm.

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a medida da projeção do cateto sobre a hipotenusa, devemos relembrar algumas fórmulas.

Observe a imagem em anexo: Ao projetarmos a altura na hipotenusa, ela será dividida em duas partes $m$ e $n$, tal que a medida $a$ da hipotenusa é dada por $a=m+n$.

Sejam os catetos $b$ e $c$. Veja que ao termos feito esta projeção, formamos dois outros triângulos retângulos. Logo o Teorema de Pitágoras é válido e afirmamos que:

$\begin{cases}b^2=h^2+m^2\\ c^2=h^2+n^2\\\end{cases}$

Lembre-se que inicialmente tínhamos um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$, logo temos que

$a^2=b^2+c^2$

Porém, nos foi definido que $a=m+n$, logo

$(m+n)^2=b^2+c^2$

Substituindo as expressões que encontrarmos em $b^2$  e $c^2$ anteriormente, temos

$(m+n)^2=m^2+h^2+n^2+h^2$

Expandindo o binômio, temos que

$m^2+2mn+n^2=m^2+n^2+2h^2$

Cancelando os termos opostos

$2h^2=2mn$

Dessa forma, temos que

$h^2=mn$

Substituindo esta expressão na que tínhamos anteriormente, temos que

$\begin{cases}b^2=m^2+mn\\ c^2=n^2+mn\\\end{cases}$

Fatorando os termos, observe que

$\begin{cases}b^2=m\cdot(m+n)\\ c^2=n\cdot(m+n)\\\end{cases}$

Dessa forma, afirmamos que

$\begin{cases}b^2=a\cdot m\\ c^2=a\cdot n\\\end{cases}$

Queremos saber a medida da projeção do cateto de 10 cm sobre a hipotenusa.

Aplicando a fórmula que encontramos, temos que

$a=m+15$ e $b=10$, logo

$10^2=m\cdot(m+15)$

Calcule a potência e multiplique os valores

$100=m^2+15m$

Subtraia $100$ em ambos os lados da equação

$m^2+15m-100=0$

Para resolvermos esta equação quadrática completa, utilizamos a fórmula resolutiva ou Fórmula de Bháskara.

A solução será:

$m=\dfrac{-15\pm\sqrt{15^2-4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$m=\dfrac{-15\pm\sqrt{225+400}}{2}$

Some os valores no radicando

$m=\dfrac{-15\pm\sqrt{625}}{2}$

Decompondo o radicando em fatores primos, teos que $625=25^2$, logo

$m=\dfrac{-15\pm25}{2}$

Separe as soluções

$m=\dfrac{-15-25}{2}~~~~~~m=\dfrac{-15+25}{2}$

Some os valores

$m=\dfrac{-40}{2}~~~~~~m=\dfrac{10}{2}$

Simplifique as frações

$m=-20}~~~~~~m=5$

Porém, como se trata de uma figura geométrica, assumimos somente a solução positiva.

Isto significa que a medida da projeção do cateto de medida 10 cm sobre a hipotenusa deste triângulo é igual a 5 cm.