Question

Ajuda ai pessoal, olha a imagem abaixo

Usando o método da derivada pela definição, dada a função f (x) = 2 / x + 1, encontre f (x)

Answer 1

Derivada pela definição.

Derivada pela definição de uma função qualquer $f(x)$, é dada por :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h) - f(x) }{h} }$  

Sabendo disso, vamos para nossa questão

A questão nos pede a derivada da função pela definição, dada a função :

$\fbox{\displaystyle f(x) = \frac{2}{x+1} }$

Derivando pela definição :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h) - f(x) }{h} }$

Vamos achar $f(x+h)$ e depois só substituir

$\displaystyle f(x+h) = \frac{2}{x+h+1 }$

Substituindo :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{2}{x+h+1} - \frac{2}{x+1} }{h} }$

tirando o MMC do numerador :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{2}{x+h+1} - \frac{2}{x+1} }{h} \to \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{2(x+1) - 2(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}}{h} }$

$\fbox{\displaystyle \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{2x+2 - 2x-2h-2}{(x+h+1)(x+1)}}{h} \to \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{-2h}{(x+h+1)(x+1)}}{h} }$

divisão de fração, repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda.

$\fbox{\displaystyle \lim_{h \to \ 0} \frac{\frac{-2h}{(x+h+1)(x+1) }}{h} \to \lim_{h \to \ 0} \frac{-2h}{h(x+h+1)(x+1)} }$

simplifica o h do numerador com o h do denominador.

$\fbox{\displaystyle \lim_{h \to \ 0} \frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} }$    

Agora podemos substituir h = 0

$\fbox{\displaystyle \frac{-2}{(x+0+1)(x+1)} \to \frac{-2}{(x+1)(x+1)} \to \frac{-2}{(x+1)^2} }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{-2}{(x+1)^2 } }$

Se quiser abrir o produto notável

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{-2}{(x^2+2x+1) } }$